京都大学 2005年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた2つの条件式 $\alpha+\beta+\gamma = 0$ と $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 0$ を用いて、3点 $\alpha, \beta, \gamma$ の位置関係を調べる。

1つの文字（例えば $\gamma$）を消去して2文字の比を求める方法（解法1）と、式の対称性に注目して $\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式を構築する方法（解法2）の2つのアプローチが考えられる。

解法1

$\alpha+\beta+\gamma = 0$ より $\gamma = -(\alpha+\beta)$。これを $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 0$ に代入する。

$$ \alpha^2 + \beta^2 + (\alpha+\beta)^2 = 0 $$

$$ 2\alpha^2 + 2\alpha\beta + 2\beta^2 = 0 \implies \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = 0 $$

$\alpha = 0$ と仮定すると $\beta = \gamma = 0$ となり「相異なる」に矛盾するから $\alpha \neq 0$。両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$$ \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 + \frac{\beta}{\alpha} + 1 = 0 $$

解の公式より、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} = \cos\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right) $$

これは $|\beta| = |\alpha|$ であり、点 $\beta$ が点 $\alpha$ を原点中心に $\pm\dfrac{2\pi}{3}$ 回転した点であることを意味する。

また、$\dfrac{\gamma}{\alpha} = -1 - \dfrac{\beta}{\alpha} = \left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^2$ より、点 $\gamma$ は点 $\alpha$ を原点中心に $\pm\dfrac{4\pi}{3}$ 回転した点である。

したがって、$|\alpha| = |\beta| = |\gamma|$ であり、3点は原点を中心とする同一円周上にあって互いになす角が $\dfrac{2\pi}{3}$ であるから、正三角形をなす。

解法2

$\alpha, \beta, \gamma$ の基本対称式を求める。$\alpha+\beta+\gamma = 0$ かつ

$$ (\alpha+\beta+\gamma)^2 = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 + 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 0 + 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) $$

より $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 0$。

$\alpha\beta\gamma = k$ とおくと、$\alpha, \beta, \gamma$ を根にもつ3次方程式は

$$ t^3 - k = 0 $$

$k = 0$ なら $\alpha=\beta=\gamma=0$ となり矛盾するから $k \neq 0$。$t^3 = k$ の3つの解は、複素数平面上で原点を中心とし半径 $\sqrt[3]{|k|}$ の円に内接する正三角形の頂点をなす。

したがって、$\alpha, \beta, \gamma$ は正三角形の頂点である。

解説

「3点が正三角形をなす条件」は複素数平面における超頻出テーマです。

解法1のように文字を減らして比を求めるアプローチは、どのような三角形であるか（回転の角度）を特定するための汎用的な手法です。解法2の解と係数の関係を用いるアプローチは、$n$ 乗根の図形的意味（正 $n$ 角形をなす）と直結した非常に鮮やかな解法です。

答え

正三角形