京都大学 1974年 理系 第6問 解説

方針・初手

条件 (ハ) の相似関係から、すべての三角形 $\triangle P_{n-1}P_nP_{n+1}$ の対応する内角が等しいことを利用する。点列が線分 $P_0O$ および $P_1O$ 上に一直線に並ぶことから、各頂点の周りの角の関係式を導き、$\triangle OP_0P_1$ の内角の間に成り立つべき条件を見つける。後半は相似比と面積比の関係に着目する。

解法1

(i) 条件 (ハ) より $\triangle P_{n-1}P_nP_{n+1} \sim \triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ が対応順に相似であるから、すべての自然数 $n$ について対応する内角は等しい。そこで、

$$\begin{aligned} \angle P_nP_{n-1}P_{n+1} &= \alpha \\ \angle P_{n-1}P_nP_{n+1} &= \beta \\ \angle P_{n-1}P_{n+1}P_n &= \gamma \end{aligned}$$

とおく。三角形の内角の和より $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ である。

条件 (イ)、(ロ) より、点 $P_{n-1}, P_{n+1}, P_{n+3}$ は半直線 $OP_0$ または $OP_1$ 上にこの順に一直線に並ぶ。 点 $P_{n+1}$ の周りの角に注目すると、$\angle P_{n-1}P_{n+1}P_n = \gamma$、$\angle P_nP_{n+1}P_{n+2} = \beta$、$\angle P_{n+2}P_{n+1}P_{n+3} = \alpha$ は隣り合って直線をなすため、これらの和は $180^\circ$ となる。これは $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ と矛盾しない。

次に、$\triangle OP_0P_1$ の内角について調べる。 点 $P_0, P_2, O$ はこの順に並ぶため、

$$\angle OP_0P_1 = \angle P_2P_0P_1 = \alpha$$

点 $P_1, P_3, O$ はこの順に並ぶため、

$$\angle OP_1P_0 = \angle P_3P_1P_2 + \angle P_2P_1P_0 = \alpha + \beta$$

$\beta > 0$ であるから、$\triangle OP_0P_1$ において、

$$\angle OP_0P_1 < \angle OP_1P_0$$

が成り立つ必要がある。

逆にこの条件が満たされるとき、$\triangle OP_0P_1$ の内角を $A = \alpha, B = \alpha + \beta, C = \gamma - \alpha$ とおける。 $\triangle P_{n-1}P_nP_{n+1}$ と $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の相似比 $r$ は、正弦定理より、

$$r = \frac{P_nP_{n+1}}{P_{n-1}P_n} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{\sin A}{\sin(A+C)} = \frac{\sin A}{\sin B}$$

となる。$0 < A < B < 180^\circ$ であるから $0 < \sin A < \sin B$ となり、$0 < r < 1$ を満たす。 このとき、各点 $P_{n}$ は辺 $OP_{n-2}$ の内分点として確かに構成でき、数列 $\{P_n\}$ は $n$ が大きくなるに従って $O$ に近づく。 以上より、求める条件は $\angle OP_0P_1 < \angle OP_1P_0$ （または $OP_1 < OP_0$）である。

(ii) (i) の考察より、任意の自然数 $n$ に対して $\triangle P_{n-1}P_nP_{n+1}$ と $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ の相似比は $r = \frac{\sin A}{\sin B}$ で一定である。 一般に、相似な図形の面積比は相似比の $2$ 乗に等しいため、第 $n$ 項の面積 $S_n$ と第 $n+1$ 項の面積 $S_{n+1}$ について、

$$\frac{S_{n+1}}{S_n} = r^2$$

が成り立つ。 これは、面積の数列 $\{S_n\}$ が公比 $r^2$ の等比数列であることを示している。 したがって、正しいのは (イ) である。

解説

(i) は、無限に続く相似な三角形が一直線上に並ぶという図形的な条件を、角の足し合わせとして定式化できるかが問われています。点の並び順（$P_0, P_2, O$ の順など）を間違えずに内角・外角の関係を拾い上げると、$\angle OP_0P_1 < \angle OP_1P_0$ という非常にシンプルな条件に帰着します。点列が $O$ に近づくという条件から公比 $0 < r < 1$ を確かめておくことが論理的な完全性につながります。

(ii) は、(i) の結論を利用すれば容易に判断できます。相似比が常に一定の $r$ であるため、面積比も常に一定の $r^2$ になります。

答え

(i) $\angle OP_0P_1 < \angle OP_1P_0$ （または $OP_1 < OP_0$）

(ii) (イ) いつでも等比数列である。 （理由：すべての $n$ において連続する2つの三角形の相似比が一定値をとるため、面積比もその一定値の $2$ 乗となり、常に等比数列となるから。）