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京都大学 1983年理系第4問解説

方針・初手

3つのベクトル $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ が互いに直交していることから、点 $O$ を原点とする空間座標を設定するのが最も自然なアプローチである。 $A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)$ とおくことで、各頂点の座標が非常にシンプルになる。

まずは、点 $P, Q, R$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ で表すか、座標を求める。点 $P$ は直線 $BC$ 上にあり、$\vec{OP} \perp \vec{BC}$ であるという条件から求めることができる。$Q, R$ についても対称性から同様に求まる。その後、四面体 $OPQR$ の体積を計算し、四面体 $OABC$ の体積との比をとる。体積比は、各ベクトルの係数を用いた行列式（スカラー三重積）を利用すると計算がスムーズである。

解法1

(1) 点 $O$ を原点とする直交座標系を考え、

$$ A(a, 0, 0), \quad B(0, b, 0), \quad C(0, 0, c) $$

とおく。ベクトルで表すと、

$$ \vec{OA} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{OC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} $$

であり、$|\vec{OA}|=a, |\vec{OB}|=b, |\vec{OC}|=c$ を満たす。また、これらは互いに直交している。

点 $P$ は直線 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} $$

と表せる。$\vec{OP} \perp \vec{BC}$ より $\vec{OP} \cdot \vec{BC} = 0$ である。 $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$ であるから、

$$ \vec{OP} \cdot \vec{BC} = \{ (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} \} \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = 0 $$

$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = 0$ に注意して展開すると、

$$ -(1-t)|\vec{OB}|^2 + t|\vec{OC}|^2 = 0 $$

$$ -(1-t)b^2 + tc^2 = 0 $$

$$ t(b^2+c^2) = b^2 \iff t = \frac{b^2}{b^2+c^2} $$

よって、

$$ \vec{OP} = \left( 1 - \frac{b^2}{b^2+c^2} \right) \vec{OB} + \frac{b^2}{b^2+c^2} \vec{OC} = \frac{c^2}{b^2+c^2}\vec{OB} + \frac{b^2}{b^2+c^2}\vec{OC} $$

同様に、点 $Q$ は直線 $CA$ 上にあり $\vec{OQ} \perp \vec{CA}$、点 $R$ は直線 $AB$ 上にあり $\vec{OR} \perp \vec{AB}$ であることから、対称性を用いて

$$ \vec{OQ} = \frac{a^2}{c^2+a^2}\vec{OC} + \frac{c^2}{c^2+a^2}\vec{OA} $$

$$ \vec{OR} = \frac{b^2}{a^2+b^2}\vec{OA} + \frac{a^2}{a^2+b^2}\vec{OB} $$

を得る。

ここで、四面体 $OABC$ の体積を $V$、四面体 $OPQR$ の体積を $V'$ とする。 3つのベクトル $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ が張る平行六面体の体積は行列式 $|\vec{x} \ \vec{y} \ \vec{z}|$ の絶対値で表され、四面体の体積はその $\frac{1}{6}$ である。 $\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{OR}$ を $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ の1次結合で表すと、

$$ (\vec{OP} \ \vec{OQ} \ \vec{OR}) = (\vec{OA} \ \vec{OB} \ \vec{OC}) \begin{pmatrix} 0 & \frac{c^2}{c^2+a^2} & \frac{b^2}{a^2+b^2} \\ \frac{c^2}{b^2+c^2} & 0 & \frac{a^2}{a^2+b^2} \\ \frac{b^2}{b^2+c^2} & \frac{a^2}{c^2+a^2} & 0 \end{pmatrix} $$

体積比 $V'/V$ は、この変換行列の行列式の絶対値に等しい。

$$ \frac{V'}{V} = \left| \det \begin{pmatrix} 0 & \frac{c^2}{c^2+a^2} & \frac{b^2}{a^2+b^2} \\ \frac{c^2}{b^2+c^2} & 0 & \frac{a^2}{a^2+b^2} \\ \frac{b^2}{b^2+c^2} & \frac{a^2}{c^2+a^2} & 0 \end{pmatrix} \right| $$

サラスの公式を用いて行列式を計算する。

$$ \det = 0 + \frac{c^2}{c^2+a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{b^2}{b^2+c^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{c^2}{b^2+c^2} \cdot \frac{a^2}{c^2+a^2} - 0 - 0 - 0 $$

$$ = \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} $$

$a, b, c > 0$ よりこの値は正であるから、求める体積比は

$$ \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} $$

である。

(2) (1)より、

$$ \frac{V'}{V} = \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} $$

この式の分母に対して相加・相乗平均の大小関係を用いる。$a^2 > 0, b^2 > 0, c^2 > 0$ であるから、

$$ a^2 + b^2 \geqq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab $$

$$ b^2 + c^2 \geqq 2\sqrt{b^2c^2} = 2bc $$

$$ c^2 + a^2 \geqq 2\sqrt{c^2a^2} = 2ca $$

各辺は正であるから、これらを辺々掛け合わせると、

$$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \geqq 2ab \cdot 2bc \cdot 2ca = 8a^2b^2c^2 $$

等号成立は $a^2=b^2$ かつ $b^2=c^2$ かつ $c^2=a^2$、すなわち $a=b=c$ のときである。両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \leqq \frac{1}{8a^2b^2c^2} $$

これに $2a^2b^2c^2$ を掛けると、

$$ \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \leqq \frac{2a^2b^2c^2}{8a^2b^2c^2} = \frac{1}{4} $$

すなわち、

$$ \frac{V'}{V} \leqq \frac{1}{4} \iff V' \leqq \frac{1}{4}V $$

となり、四面体 $OPQR$ の体積は四面体 $OABC$ の体積の $\frac{1}{4}$ 以下であることが示された。

解説

「3直交」の条件から座標を設定する典型的な空間ベクトルの問題である。座標を置くことで、「直線上の点」「垂線」の条件が単純な内積計算に帰着される。体積比の計算には、各頂点の位置ベクトルを行列の形でまとめ、その行列式の絶対値をとる方法（スカラー三重積）が非常に効率的である。 (2)の不等式証明は、分母の形を見た瞬間に相加平均・相乗平均の大小関係を利用することに気づけるかどうかがポイントになる。