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京都大学 2018年理系第6問解説

方針・初手

（1）与えられた辺の長さの条件から合同な三角形を見つけ、二等辺三角形の中線の性質に帰着させます。
（2） (1)と同様の議論で $PQ \perp CD$ も示せます。次に直線 $PQ$ を $z$ 軸とする座標系を設定し、$z$ 軸まわりの $180°$ 回転が四面体を自身に移すことを示して体積の等分を結論します。別解として、$PQ$ に垂直な断面が常に平行四辺形であることを利用するカヴァリエリの原理によるアプローチも有効です。

解法1

(1)

$\triangle ACD$ と $\triangle BDC$ において、仮定より $AC = BD$, $AD = BC$ であり、辺 $CD$ は共通であるから三辺がそれぞれ等しい。よって

$$ \triangle ACD \equiv \triangle BDC $$

対応する中線の長さは等しいため、$CD$ の中点 $Q$ に対して $AQ = BQ$ が成り立つ。したがって $\triangle AQB$ は $AQ = BQ$ の二等辺三角形であり、$P$ は底辺 $AB$ の中点であるから、中線 $PQ$ は底辺 $AB$ に垂直に交わる。すなわち、辺 $AB$ と線分 $PQ$ は垂直である。$\square$

(2)

(1)と同様に $\triangle CAB \equiv \triangle DBA$（$CA = DB$, $CB = DA$, $AB$ 共通）であるから、$AB$ の中点 $P$ に対して $CP = DP$ が成り立つ。$\triangle PCD$ は二等辺三角形であり $Q$ は $CD$ の中点であるから、$PQ \perp CD$ である。

次に座標系を設定する。$P, Q$ の中点を原点 $O$、直線 $PQ$ を $z$ 軸にとり、$h > 0$ として

$$ P = (0, 0, -h), \qquad Q = (0, 0, h) $$

とおく。$P$ は $AB$ の中点であり $AB \perp z$ 軸であるから、実数 $a_1, a_2$ を用いて

$$ A = (a_1, a_2, -h), \qquad B = (-a_1, -a_2, -h) $$

とおける。同様に $Q$ は $CD$ の中点であり $CD \perp z$ 軸であるから、実数 $c_1, c_2$ を用いて

$$ C = (c_1, c_2, h), \qquad D = (-c_1, -c_2, h) $$

とおける。

$z$ 軸まわりの $180°$ 回転 $f\colon (x, y, z) \mapsto (-x, -y, z)$ を考えると、各頂点は

$$ f(A) = B, \quad f(B) = A, \quad f(C) = D, \quad f(D) = C $$

と移るから、四面体 $ABCD$ はこの回転 $f$ によって自分自身に重なる。

一方、線分 $PQ$ を含む平面 $\alpha$ は $z$ 軸を含むため、その方程式は $px + qy = 0$ と表せる。点 $(x,y,z)$ が $\alpha$ 上にあれば $p(-x)+q(-y) = -(px+qy) = 0$ より $(-x,-y,z)$ も $\alpha$ 上にあるから、$\alpha$ も $f$ によって不変である。

したがって、$f$ は $\alpha$ で分けられた四面体の2つの部分を互いに移し合う。$f$ は等長変換であるから体積を保存するので、2つの部分の体積は等しい。$\square$

解法2

(1)

解法1に同じ。

(2)

解法1と同様に $PQ \perp AB$ および $PQ \perp CD$ を得る。

$\vec{P}$, $\vec{Q}$ を位置ベクトルとし、実数 $t$（$0 \leqq t \leqq 1$）に対して線分 $PQ$ を $t : (1-t)$ に内分する点 $G_t$、すなわち

$$ \vec{G_t} = (1-t)\vec{P} + t\vec{Q} $$

を通る $PQ$ に垂直な平面で四面体を切る。この平面は辺 $AC$, $BC$, $BD$, $AD$ を同じ比 $t : (1-t)$ に内分する点 $K$, $M$, $N$, $L$ で交わり、

$$ \vec{K} = (1-t)\vec{A} + t\vec{C}, \quad \vec{M} = (1-t)\vec{B} + t\vec{C} $$

$$ \vec{N} = (1-t)\vec{B} + t\vec{D}, \quad \vec{L} = (1-t)\vec{A} + t\vec{D} $$

である。切り口の辺を計算すると

$$ \vec{KM} = \vec{M} - \vec{K} = (1-t)(\vec{B} - \vec{A}), \qquad \vec{LN} = \vec{N} - \vec{L} = (1-t)(\vec{B} - \vec{A}) $$

$\vec{KM} = \vec{LN}$ であるから切り口 $KMNL$ は平行四辺形である。その重心の位置ベクトルは

$$ \frac{\vec{K} + \vec{N}}{2} = \frac{(1-t)(\vec{A}+\vec{B}) + t(\vec{C}+\vec{D})}{2} = (1-t)\vec{P} + t\vec{Q} = \vec{G_t} $$

となり、各断面の重心は常に線分 $PQ$ 上の点 $G_t$ に一致する。

$PQ$ を含む平面 $\alpha$ は各断面においてその重心 $G_t$ を通る直線を交線として生む。平行四辺形の重心を通る直線はその面積を2等分するから、どの高さにおいても断面積が $\alpha$ によって2等分される。カヴァリエリの原理より、立体全体の体積も2等分される。$\square$