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大阪大学 1991年文系第1問解説

方針・初手

1次変換における直線上の点の動きをパラメータ表示で追うのが基本方針である。直線 $l$ 上の点を媒介変数 $t$ を用いて表し、1次変換による像の座標を計算する。これが直線 $l'$ 上にあるという条件を立式し、パラメータ $t$ についての恒等式として処理することで係数の条件を導く。

解法1

(1)

直線 $l : y=1$ 上の任意の点 $P$ は、実数 $t$ を用いて $P(t, 1)$ と表せる。 1次変換 $f$ によって $P$ が移る点を $P'(x', y')$ とすると、

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} at+b \\ ct+d \end{pmatrix} $$

となる。条件より、点 $P'$ は直線 $l' : y=kx$ 上にあるため、$y' = kx'$ が成り立つ。

$$ ct+d = k(at+b) $$

$$ (c-ka)t + (d-kb) = 0 $$

点 $P$ は直線 $l$ 上の任意の点であるから、この等式は任意の $t$ について成り立つ。したがって係数比較により

$$ c-ka = 0 \quad \text{かつ} \quad d-kb = 0 $$

よって、$c=ka, d=kb$ が成り立つ。（証明終）

(2)

（1）の結果より、行列 $A$ は次のように表せる。

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ ka & kb \end{pmatrix} $$

これを用いて $A^2$ を計算すると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ ka & kb \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ ka & kb \end{pmatrix} $$

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a \cdot a + b \cdot ka & a \cdot b + b \cdot kb \\ ka \cdot a + kb \cdot ka & ka \cdot b + kb \cdot kb \end{pmatrix} $$

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a^2+kab & ab+kb^2 \\ ka^2+k^2ab & kab+k^2b^2 \end{pmatrix} $$

各成分を $a+kb$ でくくると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a(a+kb) & b(a+kb) \\ ka(a+kb) & kb(a+kb) \end{pmatrix} $$

$$ A^2 = (a+kb) \begin{pmatrix} a & b \\ ka & kb \end{pmatrix} = (a+kb)A $$

が成り立つ。（証明終）

(3)

$A^2 \neq O$ （零行列）のとき、（2）の結果から $(a+kb)A \neq O$ である。もし $a+kb=0$ であれば $A^2=O$ となり矛盾するため、$a+kb \neq 0$ である。

直線 $l'$ は $y=kx$ であり、直線上の点は実数 $u$ を用いて $(u, ku)$ と表せる。この点に行列 $A$ を作用させた像を $(X, Y)$ とすると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ ka & kb \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ ku \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} au + bku \\ kau + kbku \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u(a+kb) \\ ku(a+kb) \end{pmatrix} = u(a+kb) \begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} $$

ここで、$X = u(a+kb), Y = ku(a+kb) = kX$ を満たすので、移動後の点 $(X, Y)$ はつねに直線 $y=kx$ （すなわち $l'$）上に存在する。

さらに、$u$ が全ての実数値を動くとき、$a+kb \neq 0$ であるため、$X = u(a+kb)$ も全ての実数値を動く。よって、像の点 $(X, Y)$ は直線 $y=kx$ 全体を動く。したがって、$f$ による $l'$ の像は $l'$ 全体と一致する。（証明終）

解説

1次変換と直線の関係を問う標準的な問題である。（1）で「直線上の任意の点が直線上の点に移る」という条件を、媒介変数によるパラメータ表示から恒等式に帰着させることが最大のポイントである。（3）では、像が $l'$ 上にあることを示すだけでなく、$a+kb \neq 0$ を用いて「変換後の点の座標が実数全体を動くこと（全射であること）」まで言及し、像が直線 $l'$ の一部分ではなく全体に一致することを示す論理性が求められる。