トップ› 京都大学› 1984年› 理系第2問

京都大学 1984年理系第2問解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が周期関数であるか否かを判定し、周期を求める問題である。周期関数の定義に従い、$f(x+p) = f(x)$ を満たす正の定数 $p$ が存在するかどうかを調べる。

（i）周期関数であることを示す場合：すべての実数 $x$ で $f(x+p) = f(x)$ が成り立つと仮定し、$x=0$ などの具体的な値を代入して、周期 $p$ の必要条件（候補）を絞り込む。その後、その $p$ が実際に任意の $x$ で等式を満たすか（十分条件）を確認する。

（ii）周期関数ではないことを示す場合：周期関数であると仮定して背理法を用いる。方程式に具体的な値を代入したり、両辺を微分したりすることで矛盾を導く。

解法1

(1)

$f(x) = \sin(\sin x)$ とする。関数 $f(x)$ が周期 $p > 0$ をもつと仮定すると、すべての実数 $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つ。 $x=0$ を代入すると、$f(p) = f(0)$ より、

$$ \sin(\sin p) = \sin(\sin 0) = 0 $$

ゆえに、整数 $k$ を用いて $\sin p = k\pi$ と表される。ここで、$-1 \le \sin p \le 1$ であり、$\pi > 1$ であるから、$k=0$ でなければならない。したがって、$\sin p = 0$ となり、正の数 $p$ は $p = n\pi$ （$n$ は正の整数）と表される。最小の周期の候補は $p = \pi$ であるが、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\sin \frac{3\pi}{2}\right) = \sin(-1) = -\sin 1 $$

一方、

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\sin \frac{\pi}{2}\right) = \sin 1 $$

$\sin 1 \neq 0$ であるから、$f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ となり、$p=\pi$ は周期ではない。次に小さい候補は $p = 2\pi$ である。任意の $x$ について、

$$ f(x+2\pi) = \sin(\sin(x+2\pi)) = \sin(\sin x) = f(x) $$

が成り立つため、$f(x)$ は周期関数であり、その周期は $2\pi$ である。

(2)

$f(x) = \cos(\sin x)$ とする。関数 $f(x)$ が周期 $p > 0$ をもつと仮定すると、すべての実数 $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つ。 $x=0$ を代入すると、$f(p) = f(0)$ より、

$$ \cos(\sin p) = \cos(\sin 0) = 1 $$

ゆえに、整数 $k$ を用いて $\sin p = 2k\pi$ と表される。ここで、$-1 \le \sin p \le 1$ であり、$2\pi > 1$ であるから、$k=0$ でなければならない。したがって、$\sin p = 0$ となり、正の数 $p$ は $p = n\pi$ （$n$ は正の整数）と表される。最小の周期の候補は $p = \pi$ である。任意の $x$ について、

$$ f(x+\pi) = \cos(\sin(x+\pi)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x) = f(x) $$

が成り立つ。ゆえに、$f(x)$ は周期関数であり、その周期は $\pi$ である。

(3)

$f(x) = \sin(x^3)$ とする。関数 $f(x)$ が周期 $p > 0$ をもつと仮定すると、すべての実数 $x$ について $f(x+p) = f(x)$ が成り立つ。この両辺を $x$ について微分すると、合成関数の微分法により、

$$ 3(x+p)^2 \cos((x+p)^3) = 3x^2 \cos(x^3) $$

がすべての $x$ について成り立つ。 $x=0$ を代入すると、

$$ 3p^2 \cos(p^3) = 0 $$

$p > 0$ より $\cos(p^3) = 0$ である。一方で、$f(x+p) = f(x)$ に $x=0$ を代入すると、

$$ \sin(p^3) = 0 $$

となる。しかし、任意の角 $\theta$ について $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ が成り立つため、$\cos(p^3) = 0$ かつ $\sin(p^3) = 0$ を同時に満たす実数 $p$ は存在しない。これは矛盾であるから、$f(x)$ は周期関数ではない。

解法2

（(3) の別解：方程式の解の間隔に注目する方法）

$f(x) = \sin(x^3)$ が正の周期 $p$ をもつと仮定する。 $f(x) = 0$ となる $x \ge 0$ は、$\sin(x^3) = 0$ より $x^3 = n\pi$ （$n$ は $0$ 以上の整数）を満たす。よって、そのような $x$ は小さい順に $x_n = \sqrt[3]{n\pi}$ と表せる。関数 $f(x)$ が周期 $p$ をもつならば、$f(0)=0$ であるから、$f(p)=0, f(2p)=0, f(3p)=0 \dots$ となり、すべての自然数 $m$ について $f(mp) = 0$ が成り立つ。したがって、等差数列となる解の列 $mp$ は、上記の数列 $\{x_n\}$ の部分列となるはずである。しかし、数列 $\{x_n\}$ の隣り合う項の差は、

$$ \begin{aligned} x_{n+1} - x_n &= \sqrt[3]{(n+1)\pi} - \sqrt[3]{n\pi} \\ &= \frac{(n+1)\pi - n\pi}{\sqrt[3]{(n+1)^2\pi^2} + \sqrt[3]{n(n+1)\pi^2} + \sqrt[3]{n^2\pi^2}} \\ &= \frac{\pi}{\sqrt[3]{(n+1)^2\pi^2} + \sqrt[3]{n(n+1)\pi^2} + \sqrt[3]{n^2\pi^2}} \end{aligned} $$

であり、$n \to \infty$ のとき分母は無限大に発散するため、$\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_n) = 0$ となる。方程式の解の間隔がいくらでも小さくなることと、常に間隔 $p$ 以上離れた等差数列 $mp$ がその中に無限に含まれることは矛盾する。よって、$f(x)$ は周期関数ではない。

解説

三角関数や多項式を含む合成関数の周期性を問う典型問題である。 (1) と (2) のように周期関数であることを証明するには、「必要条件からの絞り込み → 十分条件の確認」という手順を踏むのが最も確実である。単に $\sin x$ の周期が $2\pi$ だからといって直感で決めつけず、(2) のように内側の関数の周期の半分が全体の周期になるケースもあることに注意したい。 (3) のように周期関数でないことを示すには、恒等式としての性質を利用する。微分した式も恒等式になることを利用すると、簡潔に矛盾を導くことができる。