京都大学 1985年 理系 第1問 解説

方針・初手

座標平面を設定し、点 $\text{B}$、$\text{C}$ を固定して点 $\text{A}$ の軌跡を考えるアプローチと、ベクトルの内積と長さの関係式（余弦定理）から辺の長さやなす角の条件に帰着させるアプローチが考えられる。ここでは見通しのよい座標設定による解法と、図形量に注目した解法の2つを示す。

解法1

辺 $\text{BC}$ の中点を原点 $\text{O}$ とし、直線 $\text{BC}$ を $x$ 軸とする直交座標系を設定する。

条件① $|\overrightarrow{\text{BC}}| = q$ ($q > 0$) より、点 $\text{B}$、$\text{C}$ の座標をそれぞれ $\text{B}\left(-\frac{q}{2}, 0\right)$、$\text{C}\left(\frac{q}{2}, 0\right)$ とおくことができる。

点 $\text{A}$ の座標を $(x, y)$ とおく。三角形 $\text{ABC}$ が存在するための条件は、点 $\text{A}$ が直線 $\text{BC}$ 上にないこと、すなわち $y \neq 0$ であることである。

ベクトル $\overrightarrow{\text{AB}}$、$\overrightarrow{\text{AC}}$ の成分は、それぞれ以下のようになる。

$$ \overrightarrow{\text{AB}} = \left(-\frac{q}{2} - x, -y\right) $$

$$ \overrightarrow{\text{AC}} = \left(\frac{q}{2} - x, -y\right) $$

条件②より、これらの内積が $p$ であるから、

$$ \left(-\frac{q}{2} - x\right)\left(\frac{q}{2} - x\right) + (-y)(-y) = p $$

$$ x^2 - \frac{q^2}{4} + y^2 = p $$

$$ x^2 + y^2 = p + \frac{q^2}{4} $$

この方程式を満たす点 $\text{A}(x, y)$ は、右辺が正のとき、原点 $\text{O}$ を中心とする半径 $\sqrt{p + \frac{q^2}{4}}$ の円を描く。

三角形 $\text{ABC}$ が存在するためには、$y \neq 0$ を満たす点 $\text{A}$ が存在すればよい。

もし $p + \frac{q^2}{4} \leqq 0$ であれば、上式を満たす実数 $(x, y)$ は存在しないか、あるいは $(x, y) = (0, 0)$ のみとなる。このとき $y = 0$ となってしまうため、三角形を構成できない。

逆に、$p + \frac{q^2}{4} > 0$ であれば、図形は半径が正の円となり、$y \neq 0$ を満たす点 $(x, y)$ が円周上に無数に存在する。

したがって、求める必要十分条件は以下の通りである。

$$ p + \frac{q^2}{4} > 0 $$

$$ p > -\frac{q^2}{4} $$

解法2

$\text{AB} = c$、$\text{AC} = b$、$\angle\text{BAC} = A$ とおく。

三角形 $\text{ABC}$ が存在するための条件は、$b > 0$、$c > 0$ かつ $0 < A < \pi$ を満たす実数 $b, c, A$ が存在することである。

条件②より、内積の定義から以下の式が成り立つ。

$$ bc \cos A = p $$

また、三角形 $\text{ABC}$ において余弦定理を適用すると、条件①より $\text{BC} = q$ であるから、

$$ q^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$

これに $bc \cos A = p$ を代入すると、

$$ q^2 = b^2 + c^2 - 2p $$

$$ b^2 + c^2 = 2p + q^2 $$

ここで、$b, c$ は正の実数であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ b^2 + c^2 \geqq 2bc $$

（等号は $b = c$ のとき成立する）

よって、以下の不等式を得る。

$$ 2p + q^2 \geqq 2bc $$

$$ bc \leqq p + \frac{q^2}{2} $$

一方、$bc \cos A = p$ と $0 < A < \pi$ （すなわち $-1 < \cos A < 1$）より、以下の関係が成り立つ。

$$ -bc < p < bc $$

すなわち、$|p| < bc$ である。

したがって、条件を満たす三角形が存在するためには、$|p| < bc \leqq p + \frac{q^2}{2}$ を満たす正の実数 $bc$ が存在することが必要十分である。そのような $bc$ が存在するための条件は、

$$ |p| < p + \frac{q^2}{2} $$

これについて、場合分けして考える。

(i)

$p \geqq 0$ のとき

$|p| = p$ であるから、

$$ p < p + \frac{q^2}{2} $$

$$ 0 < \frac{q^2}{2} $$

$q > 0$ であるため、これは常に成り立つ。このとき $2p + q^2 > 0$ も満たされ、条件を満たす正の実数 $b, c$ が存在する。

(ii)

$p < 0$ のとき

$|p| = -p$ であるから、

$$ -p < p + \frac{q^2}{2} $$

$$ 2p + \frac{q^2}{2} > 0 $$

$$ p > -\frac{q^2}{4} $$

（i）、（ii） をまとめて、求める必要十分条件は $p > -\frac{q^2}{4}$ である。

解説

図形の存在条件を問う典型的な問題である。

解法1のように座標軸を適切に設定することで、図形の存在条件を代数的な方程式（円の存在条件）に帰着できる。特に線分の中点を原点にとる設定は、内積の計算が対称的になり打ち消し合う項ができるため、計算量を大幅に減らすことができ有効である。

解法2のように、ベクトルの内積と長さを三角形の辺と角（図形量）に翻訳し、余弦定理と相加平均・相乗平均の不等式を用いて代数的な不等式の問題に持ち込むアプローチも、本質的で重要である。

答え

$$ p > -\frac{q^2}{4} $$