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京都大学 1990年理系第5問解説

方針・初手

確率変数 $X$ と $Y$ の独立性の定義 $(*)$ を満たすかどうかを調べます。 1回目のサイコロの目を $D_1$、2回目のサイコロの目を $D_2$ とすると、$X \equiv D_1 \pmod N$、$Y \equiv D_1+D_2 \pmod N$ と表せます。 $P(X=i, Y=j)$ は「$X=i$ かつ $D_2 \equiv j-i \pmod N$」となる確率であり、$D_1$ と $D_2$ は独立にサイコロを振るため、$P(X=i)P(D_2 \equiv j-i \pmod N)$ と積に分解できることが最大のポイントです。 (1) はこの性質を用いて具体的に計算し、(2) は一般の $N$ について、この式が常に $P(X=i)P(Y=j)$ と等しくなるための条件から $N$ を絞り込みます。

解法1

1回目のサイコロの目を $D_1$、2回目のサイコロの目を $D_2$ とする。$D_1, D_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ であり、それぞれ確率 $\frac{1}{6}$ で出現し、互いに独立である。問題の移動ルールより、$X, Y$ を $N$ で割った余りについて

$$ X \equiv D_1 \pmod N $$

$$ Y \equiv X + D_2 \pmod N $$

が成り立つ。事象 $\{X=i\}$ は $D_1$ のみによって決まり、事象 $\{D_2 \equiv j-i \pmod N\}$ は $D_2$ のみによって決まるため、これら2つの事象は独立である。したがって、

$$ \begin{aligned} P(X=i, Y=j) &= P(X=i \text{ かつ } X + D_2 \equiv j \pmod N) \\ &= P(X=i \text{ かつ } D_2 \equiv j-i \pmod N) \\ &= P(X=i) P(D_2 \equiv j-i \pmod N) \quad \cdots (A) \end{aligned} $$

が任意の $i, j \in \{0, 1, \dots, N-1\}$ で成り立つ。

(1)

$N=5$ の場合

$X, Y$ が独立であると仮定すると、$P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0)$ が成り立つはずである。 $X=0$ となるのは $D_1=5$ のときのみであるから、

$$ P(X=0) = P(D_1=5) = \frac{1}{6} $$

$Y=0$ となるのは $D_1 + D_2 \equiv 0 \pmod 5$ のときであり、$D_1 + D_2$ のとりうる値は $2$ 以上 $12$ 以下なので、$D_1+D_2=5$ または $10$ のときである。これを満たす $(D_1, D_2)$ の組は $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (4,6), (5,5), (6,4)$ の $7$ 通りあるので、

$$ P(Y=0) = \frac{7}{36} $$

また、$X=0$ かつ $Y=0$ となるのは $D_1=5$ かつ $D_2=5$ のときのみであるから、

$$ P(X=0, Y=0) = \frac{1}{36} $$

ここで、$P(X=0)P(Y=0) = \frac{1}{6} \cdot \frac{7}{36} = \frac{7}{216}$ となり、$P(X=0, Y=0) \neq P(X=0)P(Y=0)$ である。よって、$N=5$ のとき $X$ と $Y$ は互いに独立ではない。

$N=6$ の場合

$D_1, D_2$ を $6$ で割った余りは $0 \sim 5$ が等確率 $\frac{1}{6}$ で現れる。したがって、任意の $i \in \{0, 1, \dots, 5\}$ に対して $P(X=i) = \frac{1}{6}$ であり、任意の $k \in \{0, 1, \dots, 5\}$ に対して $P(D_2 \equiv k \pmod 6) = \frac{1}{6}$ である。式 (A) より、

$$ P(X=i, Y=j) = P(X=i) P(D_2 \equiv j-i \pmod 6) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

周辺確率 $P(Y=j)$ は、

$$ P(Y=j) = \sum_{i=0}^5 P(X=i, Y=j) = 6 \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{6} $$

よって、任意の $i, j$ について $P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j)$ が成り立ち、$N=6$ のとき $X$ と $Y$ は互いに独立である。

(2)

$N \geqq 3$ とし、$X$ と $Y$ が独立であるとする。定義より、任意の $i, j$ について

$$ P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j) $$

式 (A) を代入すると、

$$ P(X=i) P(D_2 \equiv j-i \pmod N) = P(X=i)P(Y=j) $$

$N \geqq 3$ であるから、$D_1=1$ と $D_1=2$ は $N$ で割った余りが異なる。すなわち $X=1$ と $X=2$ は異なる事象である。 $P(X=1) \geqq P(D_1=1) = \frac{1}{6} > 0$ であり、$P(X=2) \geqq P(D_1=2) = \frac{1}{6} > 0$ である。上の式に $i=1$ を代入し、$P(X=1) > 0$ で両辺を割ると、任意の $j$ について

$$ P(D_2 \equiv j-1 \pmod N) = P(Y=j) $$

同様に $i=2$ を代入し、$P(X=2) > 0$ で両辺を割ると、任意の $j$ について

$$ P(D_2 \equiv j-2 \pmod N) = P(Y=j) $$

これらから、任意の $j$ について

$$ P(D_2 \equiv j-1 \pmod N) = P(D_2 \equiv j-2 \pmod N) $$

$k = j-1 \pmod N$ とおくと、$j$ が $0$ から $N-1$ を動くとき $k$ も $0$ から $N-1$ を動くため、任意の $k \in \{0, 1, \dots, N-1\}$ について

$$ P(D_2 \equiv k \pmod N) = P(D_2 \equiv k-1 \pmod N) $$

が成り立つ。これは、$D_2$ を $N$ で割った余りが $k$ になる確率が、 $k$ に依存せず一定であることを意味する。 $k$ は $N$ 通りあり、確率の和は $1$ であるから、一定値は $\frac{1}{N}$ である。

$$ P(D_2 \equiv k \pmod N) = \frac{1}{N} $$

一方、$D_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ は等確率 $\frac{1}{6}$ で出現するため、$D_2 \equiv k \pmod N$ を満たす目の数を $m$ (正の整数) とすると、

$$ \frac{m}{6} = \frac{1}{N} $$

$$ mN = 6 $$

$N \geqq 3$ の整数であるから、$N$ は $6$ の約数に限られ、$N = 3, 6$ となる。 $N=6$ のときは (1) で独立になることが示されている。 $N=3$ のときも同様に、任意の $k \in \{0, 1, 2\}$ に対して $P(D_2 \equiv k \pmod 3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であり、任意の $i \in \{0, 1, 2\}$ に対して $P(X=i) = \frac{1}{3}$ となるため、

$$ P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(D_2 \equiv j-i \pmod 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $$

$$ P(Y=j) = \sum_{i=0}^2 P(X=i, Y=j) = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $$

となり、$P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j)$ を満たして独立となる。

以上より、求める $N$ の値は $N=3, 6$ である。

解説

2つの確率変数 $X, Y$ が独立であるとは、「$X$ の結果が $Y$ の確率分布に影響を与えない（逆も然り）」ということです。本問では「$X$ の位置からさらにサイコロを振って $Y$ を決める」というルールであるため、$X$ の値 $i$ が決まった上で $Y=j$ となる確率は、$2$回目のサイコロの目が $j-i$ になる確率そのものです。これが $X$ の値（つまり $i$）に依存しないためには、２回目のサイコロの目が $\pmod N$ において「完全に一様（どれも等確率）」に分布していなければならない、という本質的な構造を見抜けるかが鍵となります。 (2) の記述において、$P(X=1) > 0$ などを明示してから両辺を割る論理の展開は、厳密な答案作成において重要です。