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京都大学 1990年理系第4問解説

方針・初手

(1) は、半径 $1$ と $1-2r$ の同心円の間に、半径 $r$ の円が $n$ 個入るための幾何学的な条件を考えます。間に入る円の中心は、原点からの距離が $1-r$ の円周上に並びます。これらの円が互いに交わらないためには、隣り合う円の中心間の距離が $2r$ 以上である必要があります。隣接する中心角の平均が $\frac{2\pi}{n}$ であることに着目して不等式を立てます。 (2) は、面積の総和 $S$ を $r$ の2次関数として表し、最小値を求めます。平方完成により軸の位置が求まるので、その軸が (1) で求めた定義域内にあることを示せば完了です。その際、$\sin x \geqq \frac{2}{\pi}x$ などの不等式評価が有効です。

解法1

(1)

同心円の中心を $\text{O}$ とする。同心円の間にちょうど入る半径 $r$ の円を $c_1, c_2, \dots, c_n$ とし、それぞれの中心を $\text{P}_1, \text{P}_2, \dots, \text{P}_n$ とする。円 $c_k$ は半径 $1$ の円に内接し、半径 $1-2r$ の円に外接して（または内部に）含まれるため、

$$ \text{OP}_k + r \leqq 1 \implies \text{OP}_k \leqq 1-r $$

$$ \text{OP}_k - r \geqq 1-2r \implies \text{OP}_k \geqq 1-r $$

したがって、$\text{OP}_k = 1-r$ $(k=1, 2, \dots, n)$ となり、中心 $\text{P}_k$ はすべて $\text{O}$ を中心とする半径 $1-r$ の円周上にある。

また、半径 $r$ は正であり、内側の円の半径も正であるから、$1-2r > 0$ より $0 < r < \frac{1}{2}$ である。

$\text{P}_1, \dots, \text{P}_n$ をこの円周上に順にとる。隣り合う2円の中心と $\text{O}$ がなす角を $\theta_k = \angle \text{P}_k \text{O} \text{P}_{k+1}$ $(k=1, \dots, n, \text{P}_{n+1}=\text{P}_1)$ とすると、

$$ \sum_{k=1}^n \theta_k = 2\pi $$

であるから、$\theta_k \leqq \frac{2\pi}{n}$ となるような $k$ が少なくとも1つ存在する。これを $\theta$ とおく。 $\triangle \text{P}_k \text{O} \text{P}_{k+1}$ に余弦定理を用いるか、二等辺三角形の性質から、

$$ \text{P}_k \text{P}_{k+1} = 2(1-r)\sin\frac{\theta}{2} $$

$n \geqq 2$ より $0 < \theta \leqq \frac{2\pi}{n} \leqq \pi$ であり、この範囲で $\sin x$ は単調増加であるから、

$$ \text{P}_k \text{P}_{k+1} \leqq 2(1-r)\sin\frac{\pi}{n} $$

円 $c_k$ と $c_{k+1}$ が互いに交わらないためには、中心間の距離が $2r$ 以上である必要があるため、

$$ 2r \leqq \text{P}_k \text{P}_{k+1} $$

よって、

$$ 2r \leqq 2(1-r)\sin\frac{\pi}{n} $$

$$ r \leqq (1-r)\sin\frac{\pi}{n} $$

$$ r \left( 1 + \sin\frac{\pi}{n} \right) \leqq \sin\frac{\pi}{n} $$

$\sin\frac{\pi}{n} > 0$ であるから $1+\sin\frac{\pi}{n} > 0$ となり、

$$ r \leqq \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1 + \sin\frac{\pi}{n}} $$

$r>0$ と合わせて、

$$ 0 < r \leqq \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1 + \sin\frac{\pi}{n}} $$

が成り立つことが示された。

(2)

$n+2$ 個の円の面積の総和 $S$ は、

$$ S = \pi \cdot 1^2 + \pi (1-2r)^2 + n \cdot \pi r^2 $$

$$ S = \pi \{ 1 + (1 - 4r + 4r^2) + n r^2 \} $$

$$ S = \pi \{ (n+4)r^2 - 4r + 2 \} $$

$r$ について平方完成すると、

$$ S = \pi (n+4) \left( r - \frac{2}{n+4} \right)^2 + \pi \left( 2 - \frac{4}{n+4} \right) $$

よって、$S$ は $r = \frac{2}{n+4}$ を軸とする下に凸の2次関数である。この軸が (1) で求めた定義域 $0 < r \leqq \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1+\sin\frac{\pi}{n}}$ の内側にあることを示す。

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、関数 $y = \sin x$ のグラフは上に凸であり、原点 $(0,0)$ と点 $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ を結ぶ線分 $y = \frac{2}{\pi}x$ の上側（境界を含む）にある。したがって、この区間で $\sin x \geqq \frac{2}{\pi}x$ が成り立つ。 $n \geqq 2$ より $0 < \frac{\pi}{n} \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$x = \frac{\pi}{n}$ を代入して、

$$ \sin\frac{\pi}{n} \geqq \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{2}{n} $$

ここで、$n \geqq 2$ より $\frac{2}{n} > \frac{2}{n+2}$ であるから、

$$ \sin\frac{\pi}{n} > \frac{2}{n+2} $$

両辺は正であるから逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$ \frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}} < \frac{n+2}{2} $$

両辺に $1$ を足して通分すると、

$$ \frac{1+\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}} < \frac{n+4}{2} $$

再び両辺の逆数をとると、

$$ \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1+\sin\frac{\pi}{n}} > \frac{2}{n+4} $$

となり、軸 $r = \frac{2}{n+4}$ は (1) の区間 $0 < r \leqq \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1+\sin\frac{\pi}{n}}$ の条件を満たすことがわかる。したがって、$S$ は区間内の $r = \frac{2}{n+4}$ のとき最小となる。

解説

図形的な「詰め込み」の条件を数式に翻訳する問題です。 (1) では、複数の円を配置する際に「最も詰まっている部分」に着目します。$n$ 個の円を円環状に配置するとき、隣接する円の中心角の和が $2\pi$ であることから、「中心角の平均は $\frac{2\pi}{n}$ であり、ゆえに $\frac{2\pi}{n}$ 以下の中心角が必ず存在する」という論理が厳密な記述として優れています。 (2) は2次関数の最小値問題に帰着しますが、頂点の座標（ここでは $r$）が定義域内にあることを証明するステップが難所です。本解説では $y=\sin x$ の凸性を利用した有名な不等式 $\sin x \geqq \frac{2}{\pi}x$ （ジョルダンの不等式）を用いて評価しました。このような図形的な不等式評価は、極限の評価などでも頻出する重要な手法です。