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名古屋大学 1987年理系第3問解説

方針・初手

頂点 $A, B, C, D$ をそれぞれ $0, 1, 2, 3$ と座標化し、位置を $4$ を法とする合同式（$\pmod 4$）で考えると見通しが良い。 1回の試行で進む距離は、表なら $2$、裏なら $1$ である。10回硬貨を投げて表が $k$ 回出たときの総移動量を求め、各頂点に到達する $k$ の条件を調べる。

解法1

(1)

硬貨を $10$ 回投げたとき、表が $k$ 回（$0 \leqq k \leqq 10$）出たとすると、裏は $10-k$ 回出る。このときの移動距離の合計は

$$ 2k + 1 \cdot (10-k) = k + 10 $$

である。

頂点 $A, B, C, D$ をそれぞれ $0, 1, 2, 3$ と対応させ、位置を $4$ を法とする数で表す。 $A$ から出発して $k+10$ 進んだ位置は、$(k+10) \pmod 4$ で表される。ここで、$k+10 \equiv k+2 \pmod 4$ である。

各頂点に到達するような $k$ の条件は以下の通りである。

(ア) $A$ の位置に来る場合

$k+2 \equiv 0 \pmod 4$ より $k \equiv 2 \pmod 4$

$0 \leqq k \leqq 10$ であるから、$k = 2, 6, 10$

その確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \left( {}_{10}\mathrm{C}_{2} + {}_{10}\mathrm{C}_{6} + {}_{10}\mathrm{C}_{10} \right) = \frac{45 + 210 + 1}{1024} = \frac{256}{1024} = \frac{1}{4} $$

(イ) $B$ の位置に来る場合

$k+2 \equiv 1 \pmod 4$ より $k \equiv 3 \pmod 4$

$0 \leqq k \leqq 10$ であるから、$k = 3, 7$

その確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \left( {}_{10}\mathrm{C}_{3} + {}_{10}\mathrm{C}_{7} \right) = \frac{120 + 120}{1024} = \frac{240}{1024} = \frac{15}{64} $$

(ウ) $C$ の位置に来る場合

$k+2 \equiv 2 \pmod 4$ より $k \equiv 0 \pmod 4$

$0 \leqq k \leqq 10$ であるから、$k = 0, 4, 8$

その確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \left( {}_{10}\mathrm{C}_{0} + {}_{10}\mathrm{C}_{4} + {}_{10}\mathrm{C}_{8} \right) = \frac{1 + 210 + 45}{1024} = \frac{256}{1024} = \frac{1}{4} $$

(エ) $D$ の位置に来る場合

$k+2 \equiv 3 \pmod 4$ より $k \equiv 1 \pmod 4$

$0 \leqq k \leqq 10$ であるから、$k = 1, 5, 9$

その確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \left( {}_{10}\mathrm{C}_{1} + {}_{10}\mathrm{C}_{5} + {}_{10}\mathrm{C}_{9} \right) = \frac{10 + 252 + 10}{1024} = \frac{272}{1024} = \frac{17}{64} $$

(2)

$P$ 君が投げた硬貨の表の回数を $k$、$Q$ 君が投げた硬貨の表の回数を $l$ とおく（$0 \leqq k, l \leqq 10$）。

(1)より、$P$ 君の最終位置は $A$ を基準として $k+2 \pmod 4$ である。一方、$Q$ 君は $B$（位置 $1$）から出発し、$10+l$ 進むため、最終位置は $A$ を基準として

$$ 1 + (10+l) = l+11 \equiv l+3 \pmod 4 $$

である。

2人が同じ位置に来る条件は、

$$ k+2 \equiv l+3 \pmod 4 \iff k-l \equiv 1 \pmod 4 $$

ここで、$Q$ 君が硬貨を投げて裏が出た回数を $m$ とすると、$m = 10-l$（$0 \leqq m \leqq 10$）である。 $l = 10-m$ を条件式に代入すると、

$$ k - (10-m) \equiv 1 \pmod 4 \iff k+m \equiv 11 \equiv 3 \pmod 4 $$

$k$ は「$P$ 君が表を出す回数」、$m$ は「$Q$ 君が裏を出す回数」である。硬貨の表と裏が出る確率はともに $\frac{1}{2}$ であるから、2人がそれぞれ10回ずつ、合計20回硬貨を投げる反復試行において、「$P$ 君は表、$Q$ 君は裏」という確率 $\frac{1}{2}$ の事象が合計 $k+m$ 回起こるとみなすことができる。したがって、$X = k+m$ は二項分布 $B\left(20, \frac{1}{2}\right)$ に従う。

$X$ の取りうる値の範囲は $0 \leqq X \leqq 20$ であるから、$X \equiv 3 \pmod 4$ を満たす $X$ は

$$ X = 3, 7, 11, 15, 19 $$

求める確率は、

$$ P(X=3) + P(X=7) + P(X=11) + P(X=15) + P(X=19) $$

$$ = \left( \frac{1}{2} \right)^{20} \left( {}_{20}\mathrm{C}_{3} + {}_{20}\mathrm{C}_{7} + {}_{20}\mathrm{C}_{11} + {}_{20}\mathrm{C}_{15} + {}_{20}\mathrm{C}_{19} \right) $$

括弧内の組み合わせの数を計算する。対称性 ${}_{20}\mathrm{C}_{r} = {}_{20}\mathrm{C}_{20-r}$ を利用する。

$$ \begin{aligned} {}_{20}\mathrm{C}_{3} &= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140 \\ {}_{20}\mathrm{C}_{7} &= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 77520 \\ {}_{20}\mathrm{C}_{11} &= {}_{20}\mathrm{C}_{9} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 167960 \\ {}_{20}\mathrm{C}_{15} &= {}_{20}\mathrm{C}_{5} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504 \\ {}_{20}\mathrm{C}_{19} &= {}_{20}\mathrm{C}_{1} = 20 \end{aligned} $$

これらの和は、

$$ 1140 + 77520 + 167960 + 15504 + 20 = 262144 $$

ここで、$262144 = 2^{18}$ であるから、求める確率は

$$ \frac{2^{18}}{2^{20}} = \frac{1}{4} $$

解法2

(2) について、二項定理と複素数を用いた解法を示す。

解法1の途中より、求める確率は $X \sim B\left(20, \frac{1}{2}\right)$ において $X \equiv 3 \pmod 4$ となる確率であるから、

$$ \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} \left(\frac{1}{2}\right)^{20} $$

を求めればよい。

二項定理より、

$$ (1+x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {}_{20}\mathrm{C}_{r} x^r $$

この式に $x = 1, -1$ をそれぞれ代入すると、

$$ \begin{aligned} 2^{20} &= \sum_{r=0}^{20} {}_{20}\mathrm{C}_{r} \quad \cdots ① \\ 0 &= \sum_{r=0}^{20} {}_{20}\mathrm{C}_{r} (-1)^r \quad \cdots ② \end{aligned} $$

① $-$ ② より奇数番目の項を取り出すと、

$$ 2^{20} = 2 \sum_{r=0}^{9} {}_{20}\mathrm{C}_{2r+1} \implies \sum_{r=0}^{9} {}_{20}\mathrm{C}_{2r+1} = 2^{19} $$

すなわち、

$$ \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+1} + \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} = 2^{19} \quad \cdots ③ $$

次に、$x = i$（$i$ は虚数単位）を代入すると、

$$ (1+i)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {}_{20}\mathrm{C}_{r} i^r $$

左辺は極形式を用いて計算できる。

$$ (1+i)^{20} = \left( \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) \right)^{20} = 2^{10} ( \cos 5\pi + i\sin 5\pi ) = -1024 $$

右辺の虚部を比較すると、

$$ \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+1} i - \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} i $$

これが左辺の虚部 $0$ と等しいため、

$$ \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+1} = \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} $$

これを ③ に代入して、

$$ 2 \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} = 2^{19} \implies \sum_{j=0}^{4} {}_{20}\mathrm{C}_{4j+3} = 2^{18} $$

よって、求める確率は

$$ \frac{2^{18}}{2^{20}} = \frac{1}{4} $$

解説

周期性のある移動の問題を、合同式や二項分布の和に帰着させる典型的なテーマである。移動距離を $4$ で割った余りに注目することで、状態を簡潔に表現できる。(1) は直接計算できる範疇であるが、(2) では $P$ と $Q$ の試行を一つにまとめる工夫（$Q$ 君の「裏の回数」に注目し、合計20回の反復試行に帰着させる）が計算量削減の鍵となる。この「ヴァンデルモンドの畳み込み」に関連する言い換えは難関大でしばしば有効である。また、解法2で示したような $1$ の $4$ 乗根（$i, -i$）を用いた二項係数の和の計算は、数列や確率の難問で強力な武器となるため、余力があれば習得しておきたい。