京都大学 2004年 理系 第3問 解説

方針・初手

多項式の割り算の余りを求める問題では、割る式を $=0$ としたときの解を恒等式に代入する（剰余の定理）のが基本である。本問の割る式 $x^2 - x + \dfrac{n-1}{n^2}$ は、$x$ について綺麗に因数分解できることに着目する。恒等式に解を代入して $a_n, b_n$ についての連立方程式を立て、$n \to \infty$ の極限を計算する。その際、自然対数の底 $e$ の定義式を利用する。

解法1

割る式 $x^2 - x + \dfrac{n-1}{n^2}$ について、和が $1$、積が $\dfrac{n-1}{n^2} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)$ となる2数は $\dfrac{1}{n}$ と $1 - \dfrac{1}{n}$ であるから、

$$ x^2 - x + \frac{n-1}{n^2} = \left( x - \frac{1}{n} \right)\left( x - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \right) $$

と因数分解できる。与えられた恒等式

$$ x^{2n} = P_n(x) \left( x - \frac{1}{n} \right)\left( x - \left(1 - \frac{1}{n}\right) \right) + a_n x + b_n $$

において、$x = \dfrac{1}{n}$ および $x = 1 - \dfrac{1}{n}$ を代入すると、それぞれ次の式を得る。

$$ \left( \frac{1}{n} \right)^{2n} = \frac{a_n}{n} + b_n \quad \cdots \text{①} $$

$$ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} = a_n \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + b_n \quad \cdots \text{②} $$

極限 $\lim_{n \to \infty}$ を考えるため、$n \geqq 3$ としてよい。このとき $\dfrac{1}{n} \neq 1 - \dfrac{1}{n}$ である。

② $-$ ① より

$$ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( \frac{1}{n} \right)^{2n} = a_n \left( 1 - \frac{2}{n} \right) $$

$n \geqq 3$ より $1 - \dfrac{2}{n} \neq 0$ であるから、

$$ a_n = \frac{\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} - \left( \frac{1}{n} \right)^{2n}}{1 - \frac{2}{n}} $$

となる。各項の $n \to \infty$ における極限を調べる。

$$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-n} \right\}^{-2} = e^{-2} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \right)^{2n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{n} \right) = 1 $$

であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{e^{-2} - 0}{1} = e^{-2} = \frac{1}{e^2} $$

また、①より $b_n = \left( \dfrac{1}{n} \right)^{2n} - \dfrac{a_n}{n}$ である。$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n} = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} b_n = 0 - 0 = 0 $$

解説

多項式の除法と極限の融合問題である。割る式に $n$ が含まれているため一見複雑に見えるが、定数項が $\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{n-1}{n}$ であることに気づけば容易に因数分解できる。

代入して得られる $a_n$ の式において $n=2$ のときは分母が $0$ になってしまうが、求めたいのは $n \to \infty$ の極限であるため、$n \geqq 3$ として立式を進めて問題ない。

自然対数の底 $e$ の定義 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)^{-n} = e$ を用いた極限計算は頻出であるため、確実に処理できるようにしておきたい。

答え

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{e^2}, \quad \lim_{n \to \infty} b_n = 0 $$