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京都大学 2004年理系第5問解説

方針・初手

本問には、代数的に円の方程式を処理するアプローチと、幾何的な性質（複素数の交比や円に内接する四角形の条件）を利用するアプローチの2つがある。解法1では、円 $C$ が実軸上の2点 $1, -1$ を通ることから、円の中心が虚軸上に存在することに着目し、円の方程式を立式して代入計算を行う。解法2では、4点 $1, -1, \alpha, -\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ が同一円周上にあるための条件（複素数比が実数になること）を利用する。

解法1

円 $C$ は実軸上の2点 $1, -1$ を通るため、その中心は実軸の垂直二等分線、すなわち虚軸上にある。したがって、円 $C$ の中心を $ki$（$k$ は実数）、半径を $r$（$r > 0$）とおくことができる。

円 $C$ は点 $1$ を通るため、$z = 1$ を代入して

$$ r^2 = k^2 + 1 $$

を得る。これより、円 $C$ の方程式は

$$ z\bar{z} + ki(z - \bar{z}) = 1 \quad \cdots \text{①} $$

となる。円 $C$ は点 $\alpha$ も通るため、①に $z = \alpha$ を代入した

$$ \alpha\bar{\alpha} + ki(\alpha - \bar{\alpha}) = 1 \quad \cdots \text{②} $$

が成り立つ。$\alpha$ は実数ではないので $\alpha - \bar{\alpha} \neq 0$ であり、$ki = \dfrac{1 - \alpha\bar{\alpha}}{\alpha - \bar{\alpha}}$ と一意に定まる。

次に、点 $\beta = -\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ が円 $C$ 上にある、すなわち①を満たすことを示す。$\bar{\beta} = -\dfrac{1}{\alpha}$ である。①の左辺に $z = \beta$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \beta\bar{\beta} + ki(\beta - \bar{\beta}) &= \frac{1}{\alpha\bar{\alpha}} + ki \left( -\frac{1}{\bar{\alpha}} + \frac{1}{\alpha} \right) \\ &= \frac{1}{\alpha\bar{\alpha}} + ki \cdot \frac{\bar{\alpha} - \alpha}{\alpha\bar{\alpha}} \end{aligned}$$

②より $ki(\alpha - \bar{\alpha}) = 1 - \alpha\bar{\alpha}$ であるから $ki(\bar{\alpha} - \alpha) = -(1 - \alpha\bar{\alpha})$ を代入して、

$$\begin{aligned} \beta\bar{\beta} + ki(\beta - \bar{\beta}) &= \frac{1}{\alpha\bar{\alpha}} - \frac{1 - \alpha\bar{\alpha}}{\alpha\bar{\alpha}} \\ &= \frac{1 - (1 - \alpha\bar{\alpha})}{\alpha\bar{\alpha}} \\ &= \frac{\alpha\bar{\alpha}}{\alpha\bar{\alpha}} = 1 \end{aligned}$$

となり、①の右辺と一致する。したがって、点 $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ は円 $C$ 上にある。　（証明終）

解法2

4点 $A(-1), B(1), C(\alpha), D\left(-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}\right)$ について考える。$\alpha$ は実数ではないから、$A, B, C$ は同一直線上にはなく、これらを通る円 $C$ がただ1つ定まる。

複素数 $w$ を

$$ w = \frac{\beta - 1}{\beta + 1} \cdot \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} \qquad \left(\beta = -\frac{1}{\bar{\alpha}}\right) $$

と定める。$\beta = -\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ を代入して整理すると、

$$ w = \frac{\bar{\alpha} + 1}{\bar{\alpha} - 1} \cdot \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} $$

となる。$\bar{w}$ を計算すると $\bar{w} = \dfrac{\alpha + 1}{\alpha - 1} \cdot \dfrac{\bar{\alpha} + 1}{\bar{\alpha} - 1} = w$ となるため、$w$ は実数である。

$w$ が実数であることは、4点 $A, B, C, D$ の交比が実数であることを意味し、円周角の定理の逆より4点が同一円周上にあることを示している。

$A, B, C$ は同一直線上にないため、これら4点は同一円周上にある。したがって、円 $C$ は点 $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ を通る。　（証明終）

解説

複素数平面上の図形問題において、「円」をどのように捉えるかで解法が分かれる。解法1は、$1, -1$ を通る円の中心が虚軸上にあるという性質を利用して円の方程式を立式する代数的手法である。

解法2は、4点が同一円周上にある条件を交比の実数条件に帰着させるエレガントな手法である。複素数の比 $\dfrac{z_4 - z_1}{z_4 - z_2} \div \dfrac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}$ が実数になることを示せばよく、難関大の複素数平面ではぜひ習得しておきたい定石である。