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京都大学 2006年理系第5問解説

方針・初手

頂点 $A$ を基準とした位置ベクトルを用いて、点 $P, Q, R$ および重心 $G$ の位置を定式化します。3つの点が独立に動くため、パラメータを3つ（$p, q, r$）設定することになります。重心 $G$ の位置ベクトルを $\vec{AG} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ の形で表し、「設定したパラメータ $p, q, r$ が条件を満たす範囲に存在するような $s, t$ の条件」を求める**存在条件（逆像法）**の考え方を用いて領域を特定します。

解法1

$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$ とする。点 $P, Q, R$ はそれぞれ辺 $AB, BC, CA$ 上にあり、頂点とは異なるため、実数 $p, q, r$（$0 < p < 1,\ 0 < q < 1,\ 0 < r < 1$）を用いて以下のように表せる。

$$ \vec{AP} = p\vec{b} $$

$$ \vec{AQ} = \vec{b} + q(\vec{c} - \vec{b}) = (1-q)\vec{b} + q\vec{c} $$

$$ \vec{AR} = (1-r)\vec{c} $$

$\triangle PQR$ の重心を $G$ とすると、

$$ \vec{AG} = \frac{1}{3} (\vec{AP} + \vec{AQ} + \vec{AR}) = \frac{p - q + 1}{3}\vec{b} + \frac{q - r + 1}{3}\vec{c} $$

ここで $\vec{AG} = s\vec{b} + t\vec{c}$ とおくと、

$$ s = \frac{p - q + 1}{3}, \quad t = \frac{q - r + 1}{3} $$

点 $G$ が存在するための条件は、与えられた $s, t$ に対して $0 < p < 1,\ 0 < q < 1,\ 0 < r < 1$ を満たす実数 $p, q, r$ が存在することである。

上式を $p, r$ について解くと、

$$ p = 3s + q - 1, \quad r = q - 3t + 1 $$

$0 < p < 1$ および $0 < r < 1$ の条件より、

$$ 1 - 3s < q < 2 - 3s \quad \cdots \text{①} $$

$$ 3t - 1 < q < 3t \quad \cdots \text{②} $$

また元々の条件として、

$$ 0 < q < 1 \quad \cdots \text{③} $$

①、②、③ の3つの開区間の共通部分が空でない（実数 $q$ が存在する）ためには、任意の「下限」と「上限」の組み合わせにおいて（下限）$<$（上限）が成り立つことが必要かつ十分である。

非自明な条件を整理すると、

$$ 1-3s < 3t \implies s + t > \frac{1}{3} $$

$$ 1-3s < 1 \implies s > 0 $$

$$ 3t-1 < 2-3s \implies s + t < 1 $$

$$ 3t-1 < 1 \implies t < \frac{2}{3} $$

$$ 0 < 2-3s \implies s < \frac{2}{3} $$

$$ 0 < 3t \implies t > 0 $$

以上をまとめると、$s, t$ が満たすべき条件は、

$$ 0 < s < \frac{2}{3},\quad 0 < t < \frac{2}{3},\quad \frac{1}{3} < s + t < 1 $$

この条件が表す領域の頂点（境界線の交点）を求めると、斜交座標 $(s, t)$ において

$$ \left(\frac{1}{3}, 0\right),\ \left(\frac{2}{3}, 0\right),\ \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right),\ \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right),\ \left(0, \frac{2}{3}\right),\ \left(0, \frac{1}{3}\right) $$

となる。これらはいずれも $\triangle ABC$ の各辺を3等分する点に対応している。

したがって、重心 $G$ が動く範囲は、$\triangle ABC$ の各辺の3等分点（計6個）を順に結んでできる六角形の内部である（境界上の点は含まない）。