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京都大学 2006年理系第3問解説

方針・初手

$x \leqq 0$ における放物線の式を決定し、原点対称という条件を用いて $x > 0$ における関数の式を求めます。関数 $f(x)$ 全体の式が分かれば、接線の方程式を求め、グラフと接線の交点と上下関係を調べて定積分により面積を計算するという標準的な流れになります。無理数の代入計算では、方程式を用いた「次数下げ」を行うと安全です。

解法1

まず、関数 $y=f(x)$ の式を求める。

$x \leqq 0$ の範囲において、グラフは頂点が $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ で軸が $y$ 軸に平行な放物線の一部であるため、定数 $a$ を用いて次のように表せる。

$$ f(x) = a \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} $$

これが原点 $(0,0)$ を通るから、

$$ 0 = a \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \iff \frac{a}{4} + \frac{1}{4} = 0 \iff a = -1 $$

よって、$x \leqq 0$ のとき

$$ f(x) = -\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} = -x^2 - x $$

次に、$x > 0$ の範囲における $f(x)$ を求める。$y=f(x)$ のグラフは原点に関して点対称であるから、すべての $x$ について $f(-x) = -f(x)$ が成り立つ（奇関数）。

$x > 0$ のとき $-x < 0$ であるから、$x \leqq 0$ で求めた式を利用して

$$ f(x) = -f(-x) = -\left\{ -(-x)^2 - (-x) \right\} = x^2 - x $$

以上より、

$$ f(x) = \begin{cases} -x^2 - x & (x \leqq 0) \\ x^2 - x & (x > 0) \end{cases} $$

続いて、$x=-1$ における接線 $l$ の方程式を求める。

$x=-1 \leqq 0$ であるから $f(x) = -x^2 - x$ を用いる。接点の $y$ 座標は $f(-1) = -1+1 = 0$。$f'(x) = -2x - 1$ より、接線の傾きは $f'(-1) = 2 - 1 = 1$。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$$ y = x + 1 $$

接線 $l$ と $y=f(x)$ のグラフの交点の $x$ 座標を求める。

$x \leqq 0$ の範囲：$-x^2 - x = x + 1 \iff (x+1)^2 = 0 \iff x = -1$（接点のみ）

$x > 0$ の範囲：$x^2 - x = x + 1 \iff x^2 - 2x - 1 = 0$、$x > 0$ より $x = 1 + \sqrt{2}$

よって、グラフと接線で囲まれる図形は $-1 \leqq x \leqq 1+\sqrt{2}$ の範囲に存在し、この区間では常に接線が上側にある。

求める面積 $S$ は区間を $x=0$ で分けて積分する。

$$ S = \int_{-1}^{0} \left\{ (x+1) - (-x^2-x) \right\} dx + \int_{0}^{1+\sqrt{2}} \left\{ (x+1) - (x^2-x) \right\} dx $$

$$ = \int_{-1}^{0} (x+1)^2 \,dx + \int_{0}^{1+\sqrt{2}} (-x^2+2x+1) \,dx $$

前半の積分：

$$ \int_{-1}^{0} (x+1)^2 \,dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3} $$

後半の積分：$\alpha = 1+\sqrt{2}$ とおくと $\alpha^2 - 2\alpha - 1 = 0$ より $\alpha^2 = 2\alpha + 1$。

$$ \int_{0}^{\alpha} (-x^2+2x+1) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{\alpha} = -\frac{\alpha^3}{3} + \alpha^2 + \alpha $$

次数下げを行う。$\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(2\alpha+1) = 2\alpha^2+\alpha = 2(2\alpha+1)+\alpha = 5\alpha+2$ より、

$$ -\frac{\alpha^3}{3} + \alpha^2 + \alpha = -\frac{5\alpha+2}{3} + (2\alpha+1) + \alpha = -\frac{5\alpha+2}{3} + 3\alpha+1 $$

$$ = \frac{-(5\alpha+2) + 3(3\alpha+1)}{3} = \frac{4\alpha+1}{3} $$

$\alpha = 1+\sqrt{2}$ を代入して、

$$ \frac{4(1+\sqrt{2})+1}{3} = \frac{5+4\sqrt{2}}{3} $$

したがって、

$$ S = \frac{1}{3} + \frac{5+4\sqrt{2}}{3} = \frac{6+4\sqrt{2}}{3} = 2 + \frac{4\sqrt{2}}{3} $$

解説

関数の決定、接線の方程式、交点の導出、定積分による面積計算という、微積分の基本要素がすべて詰まった良問です。

ポイントは2つあります。1つ目は、点対称性を用いた関数の決定です。原点対称という性質は数式で $f(-x) = -f(x)$ と表されます。2つ目は、無理数の代入計算における工夫です。$1+\sqrt{2}$ をそのまま3乗すると計算ミスを誘発しやすくなるため、$\alpha^2-2\alpha-1=0$ を利用した次数下げが有効です。