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九州大学 2004年理系第2問解説

方針・初手

行列の累乗に関する問題である。(1)と(2)は、行列 $A^4$ の成分を $(a+b)^4$ と $(a-b)^4$ を用いて表すための誘導となっている。具体的に計算して成分を比較することで関係式を導くことができる。(3)では、(2)の結果から $A^n$ の各成分の形を推測し、数学的帰納法を用いて証明する方針が自然である。または、行列の対角化という一般的な手法を用いることも可能である。(4)は(3)で求めた成分の式に条件を代入し、公比が条件を満たす等比数列の極限を計算する。

解法1

(1)

二項定理を用いて展開する。

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

$$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$$

(2)

行列 $A$ の累乗を計算する。

$$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2+b^2 \end{pmatrix}$$

$$A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} a^2+b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2+b^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^2+b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2+b^2 \end{pmatrix}$$

行列の積を計算し、各成分を整理する。$(1,1)$ 成分と $(2,2)$ 成分は等しく、以下のようになる。

$$(a^2+b^2)^2 + (2ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2 = a^4 + 6a^2b^2 + b^4$$

$(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分は等しく、以下のようになる。

$$(a^2+b^2)(2ab) + (2ab)(a^2+b^2) = 4ab(a^2+b^2) = 4a^3b + 4ab^3$$

一方、(1)で求めた展開式の和と差を計算する。

$$(a+b)^4 + (a-b)^4 = 2(a^4 + 6a^2b^2 + b^4)$$

$$(a+b)^4 - (a-b)^4 = 2(4a^3b + 4ab^3)$$

これらを整理すると、

$$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 = \frac{(a+b)^4 + (a-b)^4}{2}$$

$$4a^3b + 4ab^3 = \frac{(a+b)^4 - (a-b)^4}{2}$$

したがって、$A^4$ は次のように表される。

$$A^4 = \begin{pmatrix} \frac{(a+b)^4+(a-b)^4}{2} & \frac{(a+b)^4-(a-b)^4}{2} \\ \frac{(a+b)^4-(a-b)^4}{2} & \frac{(a+b)^4+(a-b)^4}{2} \end{pmatrix}$$

(3)

(2)の結果から、任意の自然数 $n$ に対して以下が成り立つと推測できる。

$$A^n = \begin{pmatrix} \frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2} & \frac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2} \\ \frac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2} & \frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2} \end{pmatrix} \quad \cdots (*)$$

これを数学的帰納法によって証明する。

(i) $n=1$ のとき

$$\frac{(a+b)^1+(a-b)^1}{2} = \frac{2a}{2} = a$$

$$\frac{(a+b)^1-(a-b)^1}{2} = \frac{2b}{2} = b$$

よって、$(*)$ の右辺は $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ となり、$A^1 = A$ と一致するため成り立つ。

(ii) $n=k$（$k$ は自然数）のとき、$(*)$ が成り立つと仮定する。

$$A^{k+1} = A^k A = \begin{pmatrix} \frac{(a+b)^k+(a-b)^k}{2} & \frac{(a+b)^k-(a-b)^k}{2} \\ \frac{(a+b)^k-(a-b)^k}{2} & \frac{(a+b)^k+(a-b)^k}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$$

$A^{k+1}$ の $(1,1)$ 成分を計算する。

$$\frac{(a+b)^k+(a-b)^k}{2} \cdot a + \frac{(a+b)^k-(a-b)^k}{2} \cdot b$$

$$= \frac{a(a+b)^k + a(a-b)^k + b(a+b)^k - b(a-b)^k}{2}$$

$$= \frac{(a+b)(a+b)^k + (a-b)(a-b)^k}{2}$$

$$= \frac{(a+b)^{k+1} + (a-b)^{k+1}}{2}$$

$A^{k+1}$ の $(1,2)$ 成分を計算する。

$$\frac{(a+b)^k+(a-b)^k}{2} \cdot b + \frac{(a+b)^k-(a-b)^k}{2} \cdot a$$

$$= \frac{b(a+b)^k + b(a-b)^k + a(a+b)^k - a(a-b)^k}{2}$$

$$= \frac{(a+b)(a+b)^k - (a-b)(a-b)^k}{2}$$

$$= \frac{(a+b)^{k+1} - (a-b)^{k+1}}{2}$$

また、$A$ と $A^k$ はいずれも主対角成分どうし、副対角成分どうしがそれぞれ等しい対称行列であるから、その積である $A^{k+1}$ も同様の成分の配置をもつ。よって、$n=k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して $(*)$ が成り立つ。

(4)

(3)の結果より、$A^n$ の $(1,1)$ 成分 $x_n$ は次のように表される。

$$x_n = \frac{(a+b)^n + (a-b)^n}{2}$$

条件 $b = 1 - a$ を用いると、和と差はそれぞれ以下のようになる。

$$a+b = a + (1-a) = 1$$

$$a-b = a - (1-a) = 2a - 1$$

これらを代入すると、$x_n$ は次のように表される。

$$x_n = \frac{1^n + (2a-1)^n}{2} = \frac{1 + (2a-1)^n}{2}$$

ここで、$0 < a < 1$ であるから、辺々を2倍して1を引くことで以下の不等式を得る。

$$0 < 2a < 2$$

$$-1 < 2a - 1 < 1$$

公比が $-1$ より大きく $1$ より小さい等比数列の極限は $0$ に収束するため、

$$\lim_{n \to \infty} (2a-1)^n = 0$$

したがって、求める極限は以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$$

解法2

小問(3)の別解（行列の対角化）

行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を満たす。

$$\begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & a-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)^2 - b^2 = 0$$

これを解くと、固有値は $\lambda = a+b, a-b$ となる。

$\lambda = a+b$ のときの固有ベクトルを求める。

$$\begin{pmatrix} -b & b \\ b & -b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これを満たすベクトルの1つは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

$\lambda = a-b$ のときの固有ベクトルを求める。

$$\begin{pmatrix} b & b \\ b & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これを満たすベクトルの1つは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。

ここで、正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とおくと、その逆行列は以下のようになる。

$$P^{-1} = \frac{1}{-1-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

このとき、行列 $A$ は次のように対角化される。

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$$

両辺を $n$ 乗すると、

$$P^{-1}A^nP = \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix}$$

左から $P$、右から $P^{-1}$ を掛けて $A^n$ について解く。

$$A^n = P \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} P^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n & (a-b)^n \\ (a+b)^n & -(a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n+(a-b)^n & (a+b)^n-(a-b)^n \\ (a+b)^n-(a-b)^n & (a+b)^n+(a-b)^n \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} \frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2} & \frac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2} \\ \frac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2} & \frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2} \end{pmatrix}$$

解説

行列の $n$ 乗を求める典型的な問題である。(1)(2)が強力な誘導となっており、小問の流れに乗ることで結果を容易に推測できるようになっている。推測した結果を数学的帰納法で証明するのが最も素直な解法となる。一方で、(3)単独で出題された場合でも対応できるよう、解法2で示したような行列の対角化を用いた計算手法を習得しておくことが重要である。対角化を用いれば、推測を必要とせずに機械的な計算のみで結果を導き出すことができる。

答え