京都大学 2007年 理系 第5問（甲） 解説

方針・初手

1次変換を表現する行列をそれぞれ求め、それらの合成変換の行列が $x$ 軸に関する対称移動の行列と一致するという等式を立てて解きます。あるいは、移動する点の「偏角（動径のなす角）」に注目し、図形的な角度の変化を追うことでも方程式を立てることができます。

解法1

1次変換 $f, g$ を表す行列をそれぞれ $F, G$ とする。

原点の周りに $\dfrac{\pi}{3}$ 回転する1次変換 $f$ の行列は、

$$ F = \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\[6pt] \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix} $$

直線 $y = (\tan \alpha)x$ について対称移動する1次変換 $g$ の行列は、

$$ G = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} $$

合成変換 $f \circ g$ を表す行列は $FG$ となる。

$$\begin{aligned} FG &= \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3}\cos 2\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin 2\alpha & \cos\frac{\pi}{3}\sin 2\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2\alpha \\ \sin\frac{\pi}{3}\cos 2\alpha + \cos\frac{\pi}{3}\sin 2\alpha & \sin\frac{\pi}{3}\sin 2\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\cos 2\alpha \end{pmatrix} \end{aligned}$$

加法定理より、

$$ FG = \begin{pmatrix} \cos\!\left(2\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) & \sin\!\left(2\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) \\[6pt] \sin\!\left(2\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) & -\cos\!\left(2\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) \end{pmatrix} $$

$x$ 軸について対称移動する1次変換の行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ であるから、これらが一致する条件は、

$$ \cos\!\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 1, \quad \sin\!\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = 0 $$

この2つを同時に満たす条件は、$n$ を整数として

$$ 2\alpha + \frac{\pi}{3} = 2n\pi \iff \alpha = n\pi - \frac{\pi}{6} $$

$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ を満たすのは $n=0$ のときのみであるから、

$$ \alpha = -\frac{\pi}{6} $$

解法2

偏角に注目した解法

平面上の点 $P$ の偏角を $\theta$ とする。直線 $y = (\tan \alpha)x$ は偏角が $\alpha$ の直線であり、点 $P$ をこの直線に関して対称移動した点 $g(P)$ の偏角は $2\alpha - \theta$ となる。

これを原点の周りに $\dfrac{\pi}{3}$ 回転した点 $f(g(P))$ の偏角は

$$ 2\alpha - \theta + \frac{\pi}{3} $$

$x$ 軸に関する対称移動は偏角 $\theta$ を偏角 $-\theta$ に移す変換であるから、任意の $\theta$ に対して

$$ 2\alpha - \theta + \frac{\pi}{3} \equiv -\theta \pmod{2\pi} $$

$$ 2\alpha + \frac{\pi}{3} = 2n\pi \implies \alpha = n\pi - \frac{\pi}{6} $$

$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ より $n=0$ のとき

$$ \alpha = -\frac{\pi}{6} $$

解説

1次変換の問題において、回転や直線に関する対称移動の行列は基本事項です。特に「原点を通り $x$ 軸の正の向きとなす角が $\theta$ である直線に関する対称移動」の行列は $\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$ と表されることを暗記しておくと、計算がスムーズに進みます。

解法2のように回転と対称移動の組み合わせは、原点からの距離を変えない合同変換であるため、「偏角」の足し引きだけで処理することができ、行列の積を計算する手間を省くことができます。

答え

$$ \alpha = -\frac{\pi}{6} $$