京都大学 2007年 理系 第6問（甲） 解説

方針・初手

$2$つの関数 $y = xe^{1-x}$ と $y = x$ のグラフの交点を求め、積分区間を決定します。

その区間における $2$つのグラフの上下関係を調べ、回転体の体積を求める公式 $V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b} (y_{\text{上}}^2 - y_{\text{下}}^2) \,dx$ に当てはめて定積分を計算します。指数関数と多項式の積の積分となるため、部分積分法を繰り返し用います。

解法1

まず、$2$つのグラフの交点の $x$ 座標を求める。

$$ xe^{1-x} = x \implies x(e^{1-x} - 1) = 0 $$

よって、$x = 0$ または $e^{1-x} = 1$（すなわち $x = 1$）であるから、交点の $x$ 座標は $x = 0, 1$ である。

次に、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ におけるグラフの上下関係を調べる。

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき $1-x \geqq 0$ であるから $e^{1-x} \geqq 1$ が成り立ち、$x \geqq 0$ より $xe^{1-x} \geqq x$。

したがって、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $y = xe^{1-x}$ のグラフは $y = x$ のグラフの上側にある。

求める回転体の体積 $V$ は、

$$ V = \pi \int_{0}^{1} \left\{ (xe^{1-x})^2 - x^2 \right\} \,dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 e^{2-2x} - x^2) \,dx $$

第1項を部分積分で計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^2 e^{2-2x} \,dx &= \left[ -\frac{1}{2} x^2 e^{2-2x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x e^{2-2x} \,dx \\ &= -\frac{1}{2} e^0 + \int_{0}^{1} x e^{2-2x} \,dx \\ &= -\frac{1}{2} + \left[ -\frac{1}{2} x e^{2-2x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2-2x} \,dx \\ &= -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^0 + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{2-2x} \right]_{0}^{1} \\ &= -1 - \frac{1}{4}(e^0 - e^2) \\ &= -1 - \frac{1}{4} + \frac{e^2}{4} = \frac{e^2 - 5}{4} \end{aligned}$$

第2項は

$$ \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \frac{1}{3} $$

以上より、

$$ V = \pi \left( \frac{e^2 - 5}{4} - \frac{1}{3} \right) = \pi \cdot \frac{3e^2 - 15 - 4}{12} = \frac{\pi(3e^2 - 19)}{12} $$

解説

$x$ 軸周りの回転体の体積を求める典型的な問題です。

立式においては、「積分区間」と「上下関係」を正しく把握することが重要です。交点を求めた後、$0 \leqq x \leqq 1$ という区間内でどちらの関数が大きいかを判断します。指数関数の性質（$x \leqq 1$ ならば $1-x \geqq 0$ なので $e^{1-x} \geqq 1$）を用いることで、微分して増減表を書くことなく容易に上下関係を判定できます。

計算過程では $x^2 e^{2-2x}$ の積分が現れます。多項式と指数関数の積であるため、多項式側の次数を下げるように部分積分を $2$ 回繰り返すのが定石です。符号のミスや係数の付け忘れが起きやすい箇所なので、慎重に計算を進める必要があります。

答え

$$ \frac{\pi(3e^2 - 19)}{12} $$