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京都大学 2009年理系第4問（甲）解説

方針・初手

行列の $n$ 乗を直接求めるのが難しいため、ケーリー・ハミルトンの定理を利用して $\vec{v_n} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ に関する3項間漸化式を導きます。そこから $n=1, 2, 3$ での条件を処理し、行列 $A$ の成分に関する強い制約（場合分け）を引き出すのが方針です。

解法1

$\vec{v_n} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ とおく。題意より $\vec{v_{n+1}} = A \vec{v_n}$ である。$|\vec{v_n}|^2 = x_n^2 + y_n^2$ と表す。与えられた条件は、

$$ |\vec{v_1}|^2 = 1^2 + 0^2 = 1, \quad |\vec{v_2}|^2 = 1, \quad |\vec{v_3}|^2 = 1 $$

である。

$$ \vec{v_2} = A\vec{v_1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} $$

であるから、

$$ |\vec{v_2}|^2 = a^2 + c^2 = 1 \cdots \text{①} $$

が成り立つ。

また、行列 $A$ にケーリー・ハミルトンの定理を適用すると、

$$ A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O $$

条件より $ad-bc=1$ であるから、

$$ A^2 = (a+d)A - E $$

この両辺に右から $\vec{v_n}$ を掛けると、

$$ \vec{v_{n+2}} = (a+d)\vec{v_{n+1}} - \vec{v_n} \cdots \text{②} $$

という漸化式が得られる。

$n=1$ のとき、②より $\vec{v_3} = (a+d)\vec{v_2} - \vec{v_1}$ となる。両辺の大きさの2乗をとると、

$$ |\vec{v_3}|^2 = |(a+d)\vec{v_2} - \vec{v_1}|^2 = (a+d)^2|\vec{v_2}|^2 - 2(a+d)(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) + |\vec{v_1}|^2 $$

ここで、$|\vec{v_1}|^2 = 1$, $|\vec{v_2}|^2 = 1$, $|\vec{v_3}|^2 = 1$ であり、内積 $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot a + 0 \cdot c = a$ であるから、代入して整理すると、

$$ 1 = (a+d)^2 \cdot 1 - 2a(a+d) + 1 $$

$$ (a+d)^2 - 2a(a+d) = 0 $$

$$ (a+d)(a+d-2a) = 0 $$

$$ (a+d)(d-a) = 0 $$

したがって、$a+d = 0$ または $a = d$ が成り立つ。

(i) $a+d = 0$ のとき

②の漸化式は $\vec{v_{n+2}} = -\vec{v_n}$ となる。したがって、

$$ n \text{ が奇数のとき } \vec{v_n} = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\vec{v_1}, \quad n \text{ が偶数のとき } \vec{v_n} = (-1)^{\frac{n-2}{2}}\vec{v_2} $$

と表せる。いずれの場合も、$|\vec{v_1}|^2 = 1, |\vec{v_2}|^2 = 1$ より、$|\vec{v_n}|^2 = 1$ がすべての $n$ に対して成り立つ。

(ii) $a = d$ のとき

条件 $ad-bc = 1$ は $a^2-bc = 1$ となる。①式 $a^2+c^2 = 1$ と辺々引くと、$-bc - c^2 = 0$ すなわち $c(b+c) = 0$ を得る。よって、$c = 0$ または $b = -c$ である。

(ii-a) $a = d$ かつ $c = 0$ のとき

①より $a^2 = 1$ なので $a = d = \pm 1$。よって行列 $A$ は $\begin{pmatrix} \pm 1 & b \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}$（複号同順）の形をとる。

$$ \vec{v_{n+1}} = \begin{pmatrix} \pm 1 & b \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm x_n + by_n \\ \pm y_n \end{pmatrix} $$

$y_1 = 0$ であるから、帰納的にすべての $n$ に対して $y_n = 0$ となる。このとき $x_{n+1} = \pm x_n$ であり、$x_1 = 1$ より $x_n = (\pm 1)^{n-1}$ となる。よってすべての $n$ に対して $x_n^2 + y_n^2 = (\pm 1)^{2(n-1)} + 0^2 = 1$ が成り立つ。

(ii-b) $a = d$ かつ $b = -c$ のとき

行列 $A$ は $\begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix}$ の形をとる。

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_n - cy_n \\ cx_n + ay_n \end{pmatrix} $$

両辺の成分の2乗和を計算すると、

$$ x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 = (ax_n - cy_n)^2 + (cx_n + ay_n)^2 = (a^2+c^2)x_n^2 + (c^2+a^2)y_n^2 = (a^2+c^2)(x_n^2+y_n^2) $$

ここで①より $a^2+c^2 = 1$ であるから、$x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 = x_n^2 + y_n^2$ となり、数列 $\{ x_n^2 + y_n^2 \}$ は定数列である。$x_1^2 + y_1^2 = 1$ であるから、すべての $n$ に対して $x_n^2 + y_n^2 = 1$ が成り立つ。

以上 (i), (ii) のすべての場合において、$x_n^2 + y_n^2 = 1$ であることが示された。

解説

行列の漸化式を各成分ごとの連立方程式として解くのではなく、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて「ベクトル列の漸化式」として扱うことが重要です。$|\vec{v_{n+2}}|^2$ を計算する際、ベクトルの内積が自然に現れます。また、場合分け (ii-b) で登場する行列は、行列式の値が1で $a^2+c^2=1$ を満たすことから「回転移動」を表す行列そのものであり、直交行列の性質（原点からの距離を不変に保つ）を利用して証明を完了させることも可能です。