名古屋大学 2003年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた漸化式を行列で表したときの係数行列を $A$ とおくと、$A$ と列ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix}$ の積が簡潔な形になることに気づくのが最大のポイントである。$\alpha$ は方程式 $x^2 - px - q = 0$ の解であるから、$\alpha^2 = p\alpha + q$ が成り立つ。これを利用して行列の積を計算し、漸化式を簡略化していく。

解法1

(1) $\alpha$ は $x^2 - px - q = 0$ の解であるから、 $$ \alpha^2 - p\alpha - q = 0 \iff \alpha^2 = p\alpha + q $$ が成り立つ。 これを用いると、行列とベクトルの積は次のように計算できる。 $$ \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q + p\alpha \\ pq + (p^2+q)\alpha \end{pmatrix} $$

第1成分は $\alpha^2$ となる。 第2成分は、 $$ pq + (p^2+q)\alpha = p(q+p\alpha) + q\alpha = p\alpha^2 + q\alpha = \alpha(p\alpha+q) = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 $$ となる。したがって、 $$ \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 \\ \alpha^3 \end{pmatrix} = \alpha^2 \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ が成り立つ。

与えられた漸化式において、$n=1$ のとき、$(a_0, b_0) = (0, 0)$ より、 $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ となる。次に、$n=2$ のとき、 $$ \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$

$$ = \alpha^2 \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = (1+\alpha^2) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ よって、$P_2$ の座標は $(1+\alpha^2, \alpha+\alpha^3)$ である。

さらに、$n=3$ のとき、 $$ \begin{pmatrix} a_3 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \left\{ (1+\alpha^2) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} \right\} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$

$$ = (1+\alpha^2) \alpha^2 \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = (1+\alpha^2+\alpha^4) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ よって、$P_3$ の座標は $(1+\alpha^2+\alpha^4, \alpha+\alpha^3+\alpha^5)$ である。

(2) (1)の計算から、 $$ \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = (1+\alpha^2+\alpha^4+\cdots+\alpha^{2n-2}) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ と推測できる。これを数学的帰納法で示す。 $n=1$ のときは $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix}$ となり成り立つ。 $n=k$ のとき、 $$ \begin{pmatrix} a_k \\ b_k \end{pmatrix} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} \alpha^{2i} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ が成り立つと仮定すると、$n=k+1$ のとき、 $$ \begin{pmatrix} a_{k+1} \\ b_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & p \\ pq & p^2+q \end{pmatrix} \left\{ \left( \sum_{i=0}^{k-1} \alpha^{2i} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} \right\} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$

$$ = \left( \sum_{i=0}^{k-1} \alpha^{2i} \right) \alpha^2 \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} \alpha^{2i+2} + 1 \right) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} = \left( \sum_{i=0}^{k} \alpha^{2i} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \end{pmatrix} $$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。 したがって、すべての自然数 $n$ について、 $$ a_n = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^{2i}, \quad b_n = \alpha \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^{2i} $$ が成り立つ。 ここで、和の計算において公比 $\alpha^2$ が $1$ になるかどうかで場合分けをする。

(i) $\alpha^2 = 1$ すなわち $\alpha = \pm 1$ のとき $$ \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^{2i} = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{個}} = n $$ となるため、$P_n(n, n\alpha)$ である。

(ii) $\alpha^2 \neq 1$ すなわち $\alpha \neq \pm 1$ のとき $$ \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^{2i} = \frac{1-(\alpha^2)^n}{1-\alpha^2} = \frac{1-\alpha^{2n}}{1-\alpha^2} $$ となるため、$P_n\left(\frac{1-\alpha^{2n}}{1-\alpha^2}, \frac{\alpha(1-\alpha^{2n})}{1-\alpha^2}\right)$ である。

(3) (2)の結果を用いて、$n \to \infty$ としたときの極限を考える。

(i) $\alpha^2 = 1$ のとき $a_n = n$ より $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ となり、$P_n$ は収束しない。

(ii) $\alpha^2 \neq 1$ のとき $P_n$ がある点に収束するためには、等比数列 $\{\alpha^{2n}\}$ が収束することが必要十分である。 公比 $\alpha^2$ に対して等比数列が収束する条件は $-1 < \alpha^2 \le 1$ であるが、$\alpha$ は実数なので $\alpha^2 \ge 0$ である。 すでに $\alpha^2 \neq 1$ を仮定しているので、収束する条件は $$ 0 \le \alpha^2 < 1 $$ すなわち、$-1 < \alpha < 1$ である。 このとき、$\lim_{n\to\infty} \alpha^{2n} = 0$ となるから、 $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{1-\alpha^2}, \quad \lim_{n\to\infty} b_n = \frac{\alpha}{1-\alpha^2} $$ となる。

以上より、$P_n$ が収束するための必要十分条件は $-1 < \alpha < 1$ であり、その極限点 $P(a, b)$ は $\left( \frac{1}{1-\alpha^2}, \frac{\alpha}{1-\alpha^2} \right)$ である。

解説

行列を用いた連立漸化式においては、固有値や固有ベクトルを求めるのが一般的な解法であるが、本問のように定数項（列ベクトル）と係数行列との積がきれいなスカラー倍になる（すなわち、定数項ベクトルが係数行列の固有ベクトルになっている）場合は、その性質を利用することで帰納的に容易に一般項を類推できる。 また、等比数列の和を計算する際や極限を考える際に、「公比が $1$ のときとそうでないとき」で場合分けを忘れないことが、記述式解答において減点を防ぐ重要なポイントである。

答え

(1) $P_2(1+\alpha^2, \alpha+\alpha^3)$ $P_3(1+\alpha^2+\alpha^4, \alpha+\alpha^3+\alpha^5)$

(2) $\alpha = \pm 1$ のとき、$P_n(n, n\alpha)$ $\alpha \neq \pm 1$ のとき、$P_n\left(\frac{1-\alpha^{2n}}{1-\alpha^2}, \frac{\alpha(1-\alpha^{2n})}{1-\alpha^2}\right)$

(3) 必要十分条件: $-1 < \alpha < 1$ 点 $P$: $\left( \frac{1}{1-\alpha^2}, \frac{\alpha}{1-\alpha^2} \right)$