九州大学 1985年 理系 第4問 解説

方針・初手

点列 $\{P_n\}$ が直線 $m$ 上に順次一定間隔 $l$ で並ぶという条件を、ベクトルの漸化式として立式する。 $P_{n+1} = f(P_n)$ は行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を用いて $P_{n+1} = A P_n$ と表せる。これと等差数列的に進む条件 $\overrightarrow{P_n P_{n+1}} = \pm l \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$ を結びつけ、行列の成分に関する恒等式を導く。

解法1

(1)

直線 $m$ は $x$ 軸の正の方向と角 $\alpha$ をなすため、その方向ベクトルは $\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$ と表せる。 点列 $\{P_n\}$ は直線 $m$ 上に $P_0$ より順次一定間隔 $l \ (>0)$ で並ぶため、

$$P_{n+1} - P_n = \pm l \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} \quad (複号同順)$$

と表せる。この一定のベクトルを $\vec{d}$ とおく。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を用いると $P_{n+1} = A P_n$ であるから、両辺から $P_n$ を引いて

$$(A - E) P_n = \vec{d}$$

が任意の $n=0, 1, 2, \dots$ で成り立つ。ただし $E$ は単位行列である。

$n=0$ のとき、

$$(A - E) P_0 = \vec{d} \quad \cdots (1)$$

$n=1$ のとき、$(A - E) P_1 = \vec{d}$ であるが、$P_1 = P_0 + \vec{d}$ より

$$(A - E) (P_0 + \vec{d}) = \vec{d}$$

式(1)を用いて展開すると、

$$\vec{d} + (A - E) \vec{d} = \vec{d} \iff (A - E) \vec{d} = \vec{0}$$

すなわち $A \vec{d} = \vec{d}$ である。これを成分で表すと、

$$A \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$$

$$\begin{cases} (a - 1) \cos\alpha + b \sin\alpha = 0 \\ c \cos\alpha + (d - 1) \sin\alpha = 0 \end{cases} \quad \cdots (2)$$

また、式(1)を成分で表すと、

$$\begin{cases} (a - 1) x_0 + b y_0 = \pm l \cos\alpha \\ c x_0 + (d - 1) y_0 = \pm l \sin\alpha \end{cases} \quad \cdots (3)$$

式(2)の1つ目と式(3)の1つ目を連立方程式とみる。

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ x_0 & y_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a - 1 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \pm l \cos\alpha \end{pmatrix}$$

ここで、行列式 $\Delta = y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha$ が $0$ であると仮定すると、$x_0 = k \cos\alpha, y_0 = k \sin\alpha$ と書ける。 これを式(3)の1つ目に代入すると、

$$k \{(a - 1) \cos\alpha + b \sin\alpha\} = \pm l \cos\alpha$$

式(2)より左辺は $0$ となるが、右辺は $l > 0$ であるため矛盾する。（$\cos\alpha=0$ のときは式(3)の2つ目で同様の矛盾が生じる） したがって $\Delta = y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha \neq 0$ である。

逆行列を用いて解くと、

$$\begin{pmatrix} a - 1 \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} y_0 & -\sin\alpha \\ -x_0 & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \pm l \cos\alpha \end{pmatrix} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \mp l \sin\alpha \cos\alpha \\ \pm l \cos^2\alpha \end{pmatrix}$$

同様に、式(2)の2つ目と式(3)の2つ目を連立して解くと、

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ x_0 & y_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ d - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \pm l \sin\alpha \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} c \\ d - 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} y_0 & -\sin\alpha \\ -x_0 & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \pm l \sin\alpha \end{pmatrix} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \mp l \sin^2\alpha \\ \pm l \sin\alpha \cos\alpha \end{pmatrix}$$

これらをまとめると、求める行列が得られる。

(2)

(1)で求めた行列 $A$ について、

$$A - E = \frac{\pm l}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \begin{pmatrix} -\sin\alpha \cos\alpha & \cos^2\alpha \\ -\sin^2\alpha & \sin\alpha \cos\alpha \end{pmatrix} = \frac{\pm l}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$

と分解できる。 点 $Q_n = (u_n, v_n)$ について、$Q_{n+1} = A Q_n$ より

$$Q_{n+1} - Q_n = (A - E) \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} = \frac{\pm l (-u_n \sin\alpha + v_n \cos\alpha)}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$$

ここで、$K_n = \frac{\pm l (-u_n \sin\alpha + v_n \cos\alpha)}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha}$ とおくと、

$$\begin{cases} u_{n+1} = u_n + K_n \cos\alpha \\ v_{n+1} = v_n + K_n \sin\alpha \end{cases}$$

である。これを用いて $n+1$ のときの分子を計算すると、

$$-u_{n+1} \sin\alpha + v_{n+1} \cos\alpha = -(u_n + K_n \cos\alpha)\sin\alpha + (v_n + K_n \sin\alpha)\cos\alpha$$

$$= -u_n \sin\alpha + v_n \cos\alpha$$

となり、この値は $n$ によらず一定であることがわかる。 したがって、$K_n$ は定数であり、その値は $n=0$ のときの値

$$K_0 = \frac{\pm l (-u_0 \sin\alpha + v_0 \cos\alpha)}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha}$$

に等しい。 ゆえに、$\overrightarrow{Q_n Q_{n+1}} = K_0 \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$ という定ベクトルになるため、点列 $\{Q_n\}$ は直線上を順次一定間隔で並ぶ。 移動の方向は直線 $m$ に平行であり、その間隔は

$$|K_0| = l \left| \frac{v_0 \cos\alpha - u_0 \sin\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \right|$$

である。

解説

1次変換を繰り返し適用した点列が等差数列的な振る舞いをする問題である。 (1)では、行列の成分を直接求めるために $P_0$ と $P_1$ に関する条件を用いる。ここで得られた行列 $A$ が満たす $A - E$ は特異行列（ランク1）になっている。 (2)では、$(A - E)$ の像が常に方向ベクトル $\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$ に平行であることを利用する。これにより、任意の点から出発しても移動方向が直線 $m$ と平行になることが見抜ける。

答え

(1)

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \mp \frac{l \sin\alpha \cos\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} & \pm \frac{l \cos^2\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \\ \mp \frac{l \sin^2\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} & 1 \pm \frac{l \sin\alpha \cos\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \end{pmatrix} \quad (複号同順)$$

(2) $v_0 \cos\alpha - u_0 \sin\alpha = 0$ のときは、点 $Q_0$ に留まる。 $v_0 \cos\alpha - u_0 \sin\alpha \neq 0$ のときは、点 $Q_0$ を通り直線 $m$ に平行な直線上を、順次一定間隔 $l \left| \frac{v_0 \cos\alpha - u_0 \sin\alpha}{y_0 \cos\alpha - x_0 \sin\alpha} \right|$ で並んでいる。