京都大学 2012年 理系 第6問 解説

方針・初手

$Y_n$ の値が存在する区間を3つに分割し、$n-1$ 回目と $n$ 回目の状態遷移（マルコフ連鎖）として捉える。区間の境界として与えられた $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ と $1+\sqrt{3}$ は、それぞれ逆数をとって $1$ や $2$ を足すと再び互いに関連する値になるという連分数特有の構造を持っている。この性質を利用し、$Y_{n-1}$ の値の範囲によって $X_n$ がどの目を出せば $Y_n$ が条件の区間に収まるかを調べて漸化式を立てる。

解法1

すべての自然数 $n$ について $X_n \geqq 1$ であるから、帰納的に $Y_n \geqq 1$ となる。

$Y_n$ がとりうる値の区間を以下の3つに分割する。

$$ I_1 : 1 \leqq y < \frac{1+\sqrt{3}}{2}, \qquad I_2 : \frac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq y \leqq 1+\sqrt{3}, \qquad I_3 : y > 1+\sqrt{3} $$

漸化式 $Y_n = X_n + \dfrac{1}{Y_{n-1}}$ において、$Y_{n-1}$ がどの区間に属するかで場合分けを行い、$Y_n \in I_2$ となる条件を調べる。

なお参考値：$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \approx 1.366$、$\sqrt{3} \approx 1.732$、$1+\sqrt{3} \approx 2.732$

(i) $Y_{n-1} \in I_1$ のとき

$1 \leqq Y_{n-1} < \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ より、$\sqrt{3}-1 < \dfrac{1}{Y_{n-1}} \leqq 1$

• $X_n = 1$ のとき：$Y_n \in (\sqrt{3},\ 2] \subset I_2$ ✓
• $X_n = 2$ のとき：$Y_n \in (1+\sqrt{3},\ 3] \subset I_3$
• $X_n \geqq 3$ のとき：$Y_n > 3 > 1+\sqrt{3}$、$I_3$

よって $Y_n \in I_2$ となるのは $X_n = 1$ のときのみ。確率 $\dfrac{1}{6}$。

(ii) $Y_{n-1} \in I_2$ のとき

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y_{n-1} \leqq 1+\sqrt{3}$ より、$\dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \leqq \dfrac{1}{Y_{n-1}} \leqq \sqrt{3}-1$

• $X_n = 1$ のとき：$Y_n \in \left[\dfrac{\sqrt{3}+1}{2},\ \sqrt{3}\right] \subset I_2$ ✓
• $X_n = 2$ のとき：$Y_n \in \left[\dfrac{\sqrt{3}+3}{2},\ 1+\sqrt{3}\right]$。$\dfrac{\sqrt{3}+3}{2} > \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ より $I_2$ ✓
• $X_n \geqq 3$ のとき：$Y_n \geqq 3 + \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} > 3 > 1+\sqrt{3}$、$I_3$

よって $Y_n \in I_2$ となるのは $X_n = 1, 2$ のとき。確率 $\dfrac{2}{6}$。

(iii) $Y_{n-1} \in I_3$ のとき

$Y_{n-1} > 1+\sqrt{3}$ より、$0 < \dfrac{1}{Y_{n-1}} < \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

• $X_n = 1$ のとき：$Y_n \in \left(1,\ \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\right) \subset I_1$
• $X_n = 2$ のとき：$Y_n \in \left(2,\ \dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\right)$。$2 > \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ かつ $\dfrac{\sqrt{3}+3}{2} < 1+\sqrt{3}$ より $I_2$ ✓
• $X_n \geqq 3$ のとき：$Y_n > 3 > 1+\sqrt{3}$、$I_3$

よって $Y_n \in I_2$ となるのは $X_n = 2$ のときのみ。確率 $\dfrac{1}{6}$。

漸化式を立てる。

$p_n = P(Y_n \in I_2)$ とおくと、全確率の定理より

$$ p_n = \frac{1}{6} P(Y_{n-1} \in I_1) + \frac{2}{6} P(Y_{n-1} \in I_2) + \frac{1}{6} P(Y_{n-1} \in I_3) $$

$P(Y_{n-1} \in I_1) + P(Y_{n-1} \in I_3) = 1 - p_{n-1}$ であるから、

$$ p_n = \frac{1}{6}(1 - p_{n-1}) + \frac{2}{6} p_{n-1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} p_{n-1} $$

初項 $p_1$ を求める。

$Y_1 = X_1$ であり、$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq X_1 \leqq 1+\sqrt{3}$、すなわち $1.366\ldots \leqq X_1 \leqq 2.732\ldots$ を満たす整数は $X_1 = 2$ のみ。

$$ p_1 = \frac{1}{6} $$

漸化式を解く。

$$ p_n = \frac{1}{6} p_{n-1} + \frac{1}{6} $$

特性方程式 $\alpha = \dfrac{1}{6}\alpha + \dfrac{1}{6}$ の解は $\alpha = \dfrac{1}{5}$ であるから、

$$ p_n - \frac{1}{5} = \frac{1}{6}\left(p_{n-1} - \frac{1}{5}\right) $$

初項 $p_1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{1}{30}$、公比 $\dfrac{1}{6}$ の等比数列であるから、

$$ p_n - \frac{1}{5} = -\frac{1}{30} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1} = -\frac{1}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^n $$

$$ p_n = \frac{1}{5} - \frac{1}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^n $$

解説

一見すると複雑な確率の問題だが、不等式の境界値が絶妙に設定されていることに気づけるかが勝負の分かれ目となる。境界値 $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ は方程式 $x = 1 + \dfrac{1}{x}$ の正の解であり、$1+\sqrt{3}$ の逆数に $1$ や $2$ を足すことで再びこれらの境界値が顔を出すように作られている。

これに気づいて $Y_n$ の値域を3つの区間に分割し、状態遷移（マルコフ連鎖）として漸化式を立てるという、難関大らしい高度な発想と論証力が求められる良問である。場合分けの際、端点の等号の有無や無理数の大小評価（$\dfrac{\sqrt{3}+3}{2} < 1+\sqrt{3}$ など）を丁寧に記述することが満点答案の要件となる。

答え

$$ p_n = \frac{1}{5} - \frac{1}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^n $$