京都大学 2017年 理系 第6問 解説

方針・初手

$n$ 桁の数 $X$ が 3 で割り切れる条件は、「各位の数の和が 3 の倍数になること」です。

したがって、$n$ 個の箱から順に取り出したカードの数字の和を 3 で割った余りに着目し、$n$ 回目における確率の漸化式を立てて一般項を求めます。

解法1

ある数が 3 で割り切れるための必要十分条件は、その数の各位の数の和が 3 で割り切れることである。

したがって、$n$ 個の箱から取り出したカードの数字を順に $a_1, a_2, \ldots, a_n$ とするとき、和 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ が 3 の倍数になる確率を求めればよい。

各箱から 1 枚のカードを取り出すとき、$1, 2, 3, 4, 5$ のいずれかが出る確率はそれぞれ $\dfrac{1}{5}$ である。

出た数を 3 で割った余りで分類すると、以下のようになる。

• 余りが $0$ となる数：$3$（1通り、確率は $\dfrac{1}{5}$）
• 余りが $1$ となる数：$1, 4$（2通り、確率は $\dfrac{2}{5}$）
• 余りが $2$ となる数：$2, 5$（2通り、確率は $\dfrac{2}{5}$）

$k$ 回目（$1 \leq k \leq n$）の和 $S_k$ を 3 で割った余りが $0, 1, 2$ となる確率をそれぞれ $p_k, q_k, r_k$ とする。

求める確率は $p_n$ である。

$k+1$ 回目の和 $S_{k+1}$ が 3 で割り切れる（余りが $0$ になる）のは、以下のいずれかの場合である。

• $S_k$ を 3 で割った余りが $0$ で、さらに $a_{k+1}$ を 3 で割った余りが $0$
• $S_k$ を 3 で割った余りが $1$ で、さらに $a_{k+1}$ を 3 で割った余りが $2$
• $S_k$ を 3 で割った余りが $2$ で、さらに $a_{k+1}$ を 3 で割った余りが $1$

これらの事象は互いに排反であるから、

$$ p_{k+1} = \frac{1}{5}\,p_k + \frac{2}{5}\,q_k + \frac{2}{5}\,r_k $$

ここで、$k$ 回目の操作後の確率は全体で 1 であるから $p_k + q_k + r_k = 1$ すなわち $q_k + r_k = 1 - p_k$ が成り立つ。

これを代入すると、

$$ p_{k+1} = \frac{1}{5}\,p_k + \frac{2}{5}(q_k + r_k) = \frac{1}{5}\,p_k + \frac{2}{5}(1 - p_k) = -\frac{1}{5}\,p_k + \frac{2}{5} $$

となる。

この漸化式を変形すると、特性方程式 $\alpha = -\dfrac{1}{5}\alpha + \dfrac{2}{5}$ より $\alpha = \dfrac{1}{3}$ となるため、

$$ p_{k+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{5}\!\left(p_k - \frac{1}{3}\right) $$

となる。

数列 $\left\{p_k - \dfrac{1}{3}\right\}$ は、公比 $-\dfrac{1}{5}$ の等比数列である。

初項 $p_1$ は、1 つ目の箱から取り出したカードが 3 の倍数である確率なので $p_1 = \dfrac{1}{5}$ である。

したがって、

$$ p_1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15} $$

$$ p_k - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{k-1} $$

よって、

$$ p_n = \frac{1}{3} - \frac{2}{15}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} $$

右辺の第2項は $-\dfrac{2}{15}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1} = \dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right)^{n-1} = \dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{5}\right)^n$ と変形できるので、

$$ p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n $$

となる。

解説

「大きな桁の数が 3 で割り切れる条件は、各位の数の和が 3 の倍数になること」という有名な倍数判定法を利用する問題です。

和が 3 の倍数になる確率を求めるためには、「3 で割った余り」による状態遷移を考えるのが定石であり、確率の漸化式を立てることでスムーズに解決できます。

本問のポイントは、余りが 1 になる状態（$q_k$）と余りが 2 になる状態（$r_k$）を個別に追跡しなくても、$q_k + r_k = 1 - p_k$ という関係式を利用することで、$p_k$ のみの 2 項間漸化式に帰着できる点にあります。この変形により計算量が大幅に軽減されます。

答え

$$ p_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)^n $$