大阪大学 2014年 理系 第5問 解説

方針・初手

さいころの目の積 $T_n$ を $5$ で割った余りに着目する。余りの推移を確率漸化式で立式することが目標である。(1) は余りが $0$ 以外のすべてのパターンの和であることに気づけば、余りが $0$ になる確率の余事象（あるいは直接、余りが $0$ にならない確率）として計算できる。(3) は誘導に従い数列を変形して解く。

解法1

(1)

さいころを $1$ 回投げて出る目について、$5$ で割った余りを分類すると以下のようになる。

• 余りが $0$ となる目は $5$ のみ（確率 $\frac{1}{6}$）
• 余りが $1$ となる目は $1, 6$ の $2$ つ（確率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$）
• 余りが $2, 3, 4$ となる目はそれぞれ $2, 3, 4$（各確率 $\frac{1}{6}$）

$p_n + q_n$ は $T_n$ を $5$ で割った余りが $1, 2, 3, 4$ のいずれかである確率である。これは、$T_n$ が $5$ で割り切れない（余りが $0$ にならない）確率に等しい。

$T_n = X_1 X_2 \cdots X_n$ が $5$ で割り切れないためには、$n$ 回の試行で一度も $5$ の目が出ないことが必要十分である。

$1$ 回の試行で $5$ 以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ であるから、求める確率は

$$ p_n + q_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

(2)

$T_{n+1} = T_n X_{n+1}$ について、$T_{n+1}$ を $5$ で割った余りが $1$ になる場合を、$T_n$ を $5$ で割った余りで場合分けして考える。

(i)

$T_n$ を $5$ で割った余りが $1$ のとき（確率 $p_n$）

$X_{n+1}$ を $5$ で割った余りが $1$ であればよい。該当する目は $1, 6$ の $2$ 通りであり、その確率は $\frac{1}{3}$ である。

(ii)

$T_n$ を $5$ で割った余りが $2, 3, 4$ のいずれかであるとき（確率 $q_n$）

それぞれの余りに対して、$T_{n+1}$ の余りが $1$ になるような $X_{n+1}$ の目はただ $1$ つ決まる。 具体的には、$T_n \equiv 2 \pmod 5$ のときは目 $3$、$T_n \equiv 3 \pmod 5$ のときは目 $2$、$T_n \equiv 4 \pmod 5$ のときは目 $4$ が出れば、積の余りが $1$ となる。 したがって、この場合に $T_{n+1}$ の余りが $1$ になる確率は、いずれも $\frac{1}{6}$ である。

(iii)

$T_n$ を $5$ で割った余りが $0$ のとき

$X_{n+1}$ がどのような目であっても、$T_{n+1}$ は $5$ で割り切れるため、余りが $1$ になることはない。

以上より、$p_{n+1}$ と $p_n, q_n$ の間には次の関係式が成り立つ。

$$ p_{n+1} = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{6} q_n $$

(1) の結果から $q_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n - p_n$ である。これを代入して整理する。

$$ p_{n+1} = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{6} \left\{ \left( \frac{5}{6} \right)^n - p_n \right\} $$

$$ p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

(3)

(2) で求めた漸化式の両辺に $\left( \frac{6}{5} \right)^{n+1}$ を掛ける。

$$ \left( \frac{6}{5} \right)^{n+1} p_{n+1} = \left( \frac{6}{5} \right)^{n+1} \frac{1}{6} p_n + \left( \frac{6}{5} \right)^{n+1} \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

$$ \left( \frac{6}{5} \right)^{n+1} p_{n+1} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} \left( \frac{6}{5} \right)^n p_n + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} $$

$$ \left( \frac{6}{5} \right)^{n+1} p_{n+1} = \frac{1}{5} \left( \frac{6}{5} \right)^n p_n + \frac{1}{5} $$

与えられた $r_n = \left( \frac{6}{5} \right)^n p_n$ を用いると、数列 $\{r_n\}$ の漸化式は次のように表される。

$$ r_{n+1} = \frac{1}{5} r_n + \frac{1}{5} $$

この漸化式を変形すると以下のようになる。

$$ r_{n+1} - \frac{1}{4} = \frac{1}{5} \left( r_n - \frac{1}{4} \right) $$

また、$p_1$ は $1$ 回目に余りが $1$ になる目（$1$ または $6$）が出る確率であるから、$p_1 = \frac{1}{3}$ である。これより、$r_1$ を求める。

$$ r_1 = \left( \frac{6}{5} \right)^1 p_1 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5} $$

したがって、数列 $\left\{ r_n - \frac{1}{4} \right\}$ は初項が $r_1 - \frac{1}{4} = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$、公比が $\frac{1}{5}$ の等比数列である。

$$ r_n - \frac{1}{4} = \frac{3}{20} \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} $$

$$ r_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5} \right)^{n-1} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{5} \right)^n $$

これを $p_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n r_n$ に代入する。

$$ p_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n \left\{ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{5} \right)^n \right\} $$

$$ p_n = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{6} \right)^n + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

解説

状態遷移を考える確率漸化式の典型問題である。 (1) で全体（ここでは「$5$ で割り切れない」という状態）をまとめ、(2) で詳細な漸化式を立てるという流れは非常に頻出である。$T_n$ の余りが $2, 3, 4$ のいずれであっても、次のターンに余りが $1$ になる確率が等しく $\frac{1}{6}$ になるという対称性を見抜けるかどうかがポイントとなる。 (3) は $p_{n+1} = a p_n + b c^n$ 型の漸化式の解法として、両辺を $c^{n+1}$ で割る（または適当な数を掛ける）という標準的な手法が誘導付きで問われている。

答え

(1)

$p_n + q_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n$

(2)

$p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right)^n$

(3)

$p_n = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{6} \right)^n + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{6} \right)^n$