京都大学 2018年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた複素数 $\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ を $\omega$ とおき、その性質（$\omega^3 = 1$ や $\bar{\omega} = \omega^2$ など）を利用して状態の推移を考えます。$z_n$ がとり得る値は限られているため、それぞれの値をとる確率を変数に置き、連立漸化式を立てて解く方針が自然です。

解法1

$\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ とおく。$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解の一つであり、$\omega^3 = 1$ を満たす。また、共役複素数について

$$ \bar{1} = 1, \qquad \bar{\omega} = \frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2} = \omega^2, \qquad \overline{\omega^2} = \omega $$

が成り立つ。条件 (i), (ii) より、$z_n$ は $1,\ \omega,\ \omega^2$ のいずれかの値のみをとる。$n$ 回コインを投げたとき、$z_n = 1,\ \omega,\ \omega^2$ となる確率をそれぞれ $p_n,\ q_n,\ r_n$ とおく。

1回目に表が出れば $z_1 = \omega$、裏が出れば $z_1 = 1$ であるから、

$$ p_1 = \frac{1}{2}, \qquad q_1 = \frac{1}{2}, \qquad r_1 = 0 $$

$n+1$ 回目の状態推移は次の通りである。

• $z_n = 1$ のとき：表なら $z_{n+1} = \omega$、裏なら $z_{n+1} = \bar{1} = 1$
• $z_n = \omega$ のとき：表なら $z_{n+1} = \omega^2$、裏なら $z_{n+1} = \bar{\omega} = \omega^2$
• $z_n = \omega^2$ のとき：表なら $z_{n+1} = \omega^3 = 1$、裏なら $z_{n+1} = \overline{\omega^2} = \omega$

これを確率の推移として立式すると、以下の連立漸化式を得る。

$$ p_{n+1} = \frac{1}{2}\,p_n + \frac{1}{2}\,r_n $$

$$ q_{n+1} = \frac{1}{2}\,p_n + \frac{1}{2}\,r_n $$

$$ r_{n+1} = q_n $$

上の2式より $p_{n+1} = q_{n+1}$ であり、$p_1 = q_1$ であるから、すべての自然数 $n$ に対して $p_n = q_n$ が成り立つ。$p_n + q_n + r_n = 1$ に $q_n = p_n$ を代入すると $r_n = 1 - 2p_n$ を得る。これを第1式に代入すると、

$$ p_{n+1} = \frac{1}{2}\,p_n + \frac{1}{2}(1 - 2p_n) = -\frac{1}{2}\,p_n + \frac{1}{2} $$

$$ p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\left(p_n - \frac{1}{3}\right) $$

数列 $\left\{p_n - \dfrac{1}{3}\right\}$ は初項 $p_1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$、公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから、

$$ p_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $$

解説

複素数平面における回転と折り返し（共役）の操作を、状態遷移の確率漸化式に帰着させる典型的な融合問題です。$\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ をそのまま扱うと計算が煩雑になるため、$\omega$ とおいて $\omega^3 = 1$ などの性質を活用するのが定石です。

推移を丁寧に追うと $z_n = \omega$ の次は表裏どちらが出ても必ず $z_{n+1} = \omega^2$ になること、そこから $z_n = 1$ となる確率と $z_n = \omega$ となる確率が常に等しいという対称性が見え、漸化式を簡単に解くことができます。

答え

$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n $$