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京都大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

（1） 2つの曲線が接するという条件は、共有点の $x$ 座標を $t$ としたとき、$y$ 座標が等しく、かつその点での微分係数が等しいという2つの式で表されます。これらを連立し、$t$ を $a,\ c$ で表すことを目指します。
（2） (1)で求めた接点の座標を $(x, y)$ とおき、$a,\ c$ を $x,\ y$ で表します。それを条件式 (i) に代入し、$x,\ y$ の不等式を導きます。また、$a,\ b,\ c$ が $0$ でないという条件から除外すべき点や線を慎重に確認します。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2,\ g(x) = b(x-1)^2 + c$ とおく。$f'(x) = 2ax,\ g'(x) = 2b(x-1)$ である。

2つの放物線 $C_1,\ C_2$ が $x=t$ で接するとすると、

$$ at^2 = b(t-1)^2 + c \quad \cdots ① $$

$$ at = b(t-1) \quad \cdots ② $$

が成り立つ。

②より $b(t-1) = at$ であるから、これを①に代入して

$$ at^2 = b(t-1) \cdot (t-1) = at(t-1) = at^2 - at $$

$$ \therefore\quad at = c $$

$a$ は $0$ でない実数であるから、$t = \dfrac{c}{a}$ となる。

このとき、接点の $y$ 座標は

$$ at^2 = a \cdot \frac{c^2}{a^2} = \frac{c^2}{a} $$

したがって、$C_1$ と $C_2$ の接点の座標は

$$ \left(\frac{c}{a},\ \frac{c^2}{a}\right) $$

である。

(2)

接点の座標を $(x, y)$ とおくと、

$$ x = \frac{c}{a}, \qquad y = \frac{c^2}{a} \quad \cdots ③④ $$

$c \neq 0$ であるから $x \neq 0$ である。

④より $y = ax^2$ であり、$x \neq 0$ より $a = \dfrac{y}{x^2}$ と表せる。

また、③より $c = ax = \dfrac{y}{x^2} \cdot x = \dfrac{y}{x}$ と表せる。

これらを条件 (i) $1 + c^2 \leqq 2a$ に代入すると、

$$ 1 + \frac{y^2}{x^2} \leqq \frac{2y}{x^2} $$

$x \neq 0$ より $x^2 > 0$ であるから、両辺に $x^2$ を掛けて

$$ x^2 + y^2 \leqq 2y \implies x^2 + (y-1)^2 \leqq 1 $$

となる。

次に、$b$ の条件を確認する。

②において $t = x$ であるから、$ax = b(x-1)$ が成り立つ。

$x=1$ と仮定すると、$a \cdot 1 = 0 \iff a = 0$ となり、$a \neq 0$ に矛盾する。

よって $x \neq 1$ である。

$x \neq 1$ のとき $b = \dfrac{ax}{x-1}$ と定まる。$a \neq 0$ かつ $x \neq 0$ より $ax \neq 0$ であるから、$b \neq 0$ も満たされる。

以上より、接点 $(x, y)$ の動く範囲は

$$ x^2 + (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \neq 0, \quad (x,y) \neq (1, 1) $$

である。

これを図示すると、中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円の周および内部から、$y$ 軸上の線分（$x=0,\ 0 \leqq y \leqq 2$）と、円周上の点 $(1, 1)$ を除いた領域となる。

解説

放物線の接する条件と軌跡の標準的な問題です。

(1)では、接点において関数値と微分係数が一致するという条件から連立方程式を立てます。これを解く際、展開して係数を比較するよりも、式全体のかたまりを代入する工夫（$b(t-1) = at$ の利用）をすると計算が非常にスムーズになります。

(2)では、求めた座標を $(x, y)$ とおいて媒介変数 $a,\ c$ を消去します。このとき、「$a,\ b,\ c$ は $0$ でない」という条件から、軌跡の領域から除外される点や線を忘れずに確認することが最大のポイントです。特に $b$ の存在条件から $x \neq 1$ が導かれる点に注意しましょう。