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京都大学 2018年理系第3問解説

方針・初手

円に内接する四角形の向かい合う角の和が $\pi$ であることと、与えられた角度の条件から、四角形 $ABCD$ が $AB \parallel CD$ の等脚台形であることをまず見抜きます。形状が分かれば対角線の長さが正弦定理から定数として求まるため、トレミーの定理を利用して辺の積を評価する方針が見えます。あるいは、円周角を変数とおいて三角関数の最大値問題に帰着させる方針も有効です。

解法1

四角形 $ABCD$ は半径 1 の円に内接するから、向かい合う角の和は $\pi$ である。条件より $\angle ABC = \angle DAB = \alpha$ であるから、

$$ \angle BCD = \pi - \alpha, \qquad \angle CDA = \pi - \alpha $$

$\angle DAB + \angle CDA = \alpha + (\pi - \alpha) = \pi$ より $AB \parallel CD$ である。さらに $\angle BCD = \angle CDA$ であるから、四角形 $ABCD$ は等脚台形であり、$AD = BC$, $AC = BD$ が成り立つ。

$\triangle ABD$ は半径 1 の円に内接するため、正弦定理より

$$ BD = 2\sin\angle DAB = 2\sin\alpha $$

よって $AC = BD = 2\sin\alpha$ である。

四角形 $ABCD$ にトレミーの定理を適用すると

$$ AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA $$

$$ 4\sin^2\alpha = AB \cdot CD + BC^2 $$

$AB \cdot CD > 0$, $BC^2 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ AB \cdot CD + BC^2 \geqq 2\sqrt{AB \cdot CD \cdot BC^2} = 2\sqrt{AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA} = 2\sqrt{k} $$

したがって $4\sin^2\alpha \geqq 2\sqrt{k}$、すなわち

$$ k \leqq 4\sin^4\alpha $$

等号が成立するのは $AB \cdot CD = BC^2 = 2\sin^2\alpha$ のときである。このとき $BC = \sqrt{2}\sin\alpha$ であり、弦 $BC$ が見込む円周角を $\theta$ とすると $BC = 2\sin\theta$ より

$$ \sin\theta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{2}} $$

$0 < \alpha \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $0 < \dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{2}} \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$ かつ $\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{2}} < \sin\alpha$ であるから、$0 < \theta < \alpha$ を満たす $\theta$ が存在し、条件を満たす四角形が作れる。

以上より、$k$ の最大値は $4\sin^4\alpha$ である。

解法2

解法1と同様に、四角形 $ABCD$ は $AB \parallel CD$ の等脚台形であり $AD = BC$ である。弦 $BC$ に対する円周角を $\angle BAC = \theta$ とおく。頂点が $A, B, C, D$ の順に並ぶ条件から $0 < \theta < \angle DAB = \alpha$ である。

$AD = BC$ より等しい弧に対する円周角は等しいから $\angle ABD = \theta$ である。半径 1 の円に対する正弦定理より、

$$ BC = 2\sin\theta, \qquad DA = 2\sin\theta $$

また、$\angle CAD = \alpha - \theta$ より $CD = 2\sin(\alpha - \theta)$ であり、$\triangle ABC$ において $\angle ACB = \pi - (\alpha + \theta)$ より $AB = 2\sin(\alpha + \theta)$ である。

したがって、

$$ k = AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA = 16\sin^2\theta\,\sin(\alpha+\theta)\sin(\alpha-\theta) $$

積和の公式より $\sin(\alpha+\theta)\sin(\alpha-\theta) = \sin^2\alpha - \sin^2\theta$ であるから、

$$ k = 16\sin^2\theta\,(\sin^2\alpha - \sin^2\theta) $$

$X = \sin^2\theta$ とおくと $0 < X < \sin^2\alpha$ であり、

$$ k = 16X(\sin^2\alpha - X) = -16\left(X - \frac{\sin^2\alpha}{2}\right)^2 + 4\sin^4\alpha $$

$X = \dfrac{\sin^2\alpha}{2}$ は定義域を満たすため、このとき $k$ は最大値 $4\sin^4\alpha$ をとる。