京都大学 2023年 理系 第2問 解説

方針・初手

• 空間ベクトルを用いて、点 $O$ を始点とする位置ベクトルで各点を表す。

• $4$ 点 $O, A, B, C$ が同一平面上にないことから、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は一次独立である。これらを基底として係数比較を行う。

• 直線 $QR$ と直線 $PC$ が交点 $S$ を持つという条件を、$\overrightarrow{OS}$ を $2$ 通りに表すことで立式する。

解法1

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とおく。 $4$ 点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないから、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立である。 与えられた条件より、各点の位置ベクトルは次のように表される。

$$ \overrightarrow{OD} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} $$

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a} $$

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{b} $$

点 $R$ は直線 $OD$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OD} = k\vec{a} + 2k\vec{b} + 3k\vec{c} $$

と表せる。 直線 $QR$ と直線 $PC$ の交点を $S$ とする。 点 $S$ は直線 $QR$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{QS} = s\overrightarrow{QR}$ と表せる。

$$ \overrightarrow{OS} = (1-s)\overrightarrow{OQ} + s\overrightarrow{OR} $$

$$ = (1-s)\left(\frac{1}{2}\vec{b}\right) + s(k\vec{a} + 2k\vec{b} + 3k\vec{c}) $$

$$ = sk\vec{a} + \left( \frac{1-s}{2} + 2sk \right)\vec{b} + 3sk\vec{c} \cdots \text{①} $$

また、点 $S$ は直線 $PC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{PS} = t\overrightarrow{PC}$ と表せる。

$$ \overrightarrow{OS} = (1-t)\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OC} $$

$$ = (1-t)\left(\frac{1}{3}\vec{a}\right) + t\vec{c} $$

$$ = \frac{1-t}{3}\vec{a} + t\vec{c} \cdots \text{②} $$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は一次独立であるから、①と②の各ベクトルの係数は等しい。

$$ sk = \frac{1-t}{3} \cdots \text{③} $$

$$ \frac{1-s}{2} + 2sk = 0 \cdots \text{④} $$

$$ 3sk = t \cdots \text{⑤} $$

⑤を③に代入すると、

$$ sk = \frac{1-3sk}{3} $$

$$ 3sk = 1 - 3sk $$

$$ 6sk = 1 $$

$$ sk = \frac{1}{6} $$

これを④に代入すると、

$$ \frac{1-s}{2} + 2 \cdot \frac{1}{6} = 0 $$

$$ \frac{1-s}{2} + \frac{1}{3} = 0 $$

$$ 3(1-s) + 2 = 0 $$

$$ 3s = 5 \quad \therefore s = \frac{5}{3} $$

$sk = \frac{1}{6}$ に $s = \frac{5}{3}$ を代入して、

$$ \frac{5}{3}k = \frac{1}{6} \quad \therefore k = \frac{1}{10} $$

したがって、$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{10}\overrightarrow{OD}$ となる。 これは、点 $R$ が線分 $OD$ を $1:9$ に内分する点であることを示している。 よって、線分 $OR$ の長さと線分 $RD$ の長さの比は $1:9$ である。

解説

• 空間ベクトルの典型的な交点問題です。直線の交点が存在するという条件は、「交点の位置ベクトルを2つの直線上の点としてそれぞれ文字を用いて表し、一次独立性から係数を比較する」という手順で処理するのが定石です。

• 点 $R$ が直線 $OD$ 上にあるという条件を $\overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OD}$ とおき、未知数 $k$ を求めることが最終目標になります。連立方程式を解く際は、不要な文字 ($s, t$) をうまく消去して $k$ の値を導きましょう。

• 最後に $k$ の値から $OR : RD$ の比を正しく読み取る点に注意が必要です。$k = \frac{1}{10}$ は $\overrightarrow{OR}$ が $\overrightarrow{OD}$ の $\frac{1}{10}$ 倍であることを意味するため、残りの $RD$ の部分は $\frac{9}{10}$ となります。

答え

$1 : 9$