九州大学 1961年 文系 第8問 解説

方針・初手

第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられているとき、数列の一般項 $a_n$ は、関係式 $a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ と $a_1 = S_1$ を用いて求める。 (2) では $x \to 1$ の極限を考えるが、与式に直接 $x=1$ を代入すると分母分子ともに $0$ となり不定形になる。(1) で求めた「和の公式（与式）」と「一般項の和」が等しいことを利用し、極限の対象を計算可能な式へ置き換える。

解法1

(1)

与えられた級数の第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくと、

$$S_n = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(x-1)^2}$$

求める級数の一般項を $a_n$ とする。 $n=1$ のとき、

$$a_1 = S_1 = \frac{1 - 2x + x^2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2} = 1$$

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = S_n - S_{n-1}$$

$$= \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(x-1)^2} - \frac{1 - nx^{n-1} + (n-1)x^n}{(x-1)^2}$$

$$= \frac{1}{(x-1)^2} \left\{ (1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}) - (1 - nx^{n-1} + (n-1)x^n) \right\}$$

$$= \frac{1}{(x-1)^2} \left\{ nx^{n+1} - (n+1)x^n - (n-1)x^n + nx^{n-1} \right\}$$

$$= \frac{1}{(x-1)^2} (nx^{n+1} - 2nx^n + nx^{n-1})$$

$$= \frac{nx^{n-1}}{(x-1)^2} (x^2 - 2x + 1)$$

$$= \frac{nx^{n-1}(x-1)^2}{(x-1)^2} = nx^{n-1}$$

ここで得られた式に $n=1$ を代入すると $1 \cdot x^0 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致する。 よって、求める一般項は $nx^{n-1}$ である。

(2)

(1) の結果より、級数の第 $n$ 項までの和は $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ と表せる。したがって、$x \ne 1$ において以下の等式が成り立つ。

$$\sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(x-1)^2}$$

$x \to 1$ の極限を考える際、$x \ne 1$ としてよいため、上式の両辺の極限をとる。

$$\lim_{x \to 1} \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(x-1)^2} = \lim_{x \to 1} \sum_{k=1}^n kx^{k-1}$$

関数 $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ は多項式であり $x=1$ において連続であるから、極限値は $x=1$ を代入した値となる。

$$\lim_{x \to 1} \sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \sum_{k=1}^n k \cdot 1^{k-1} = \sum_{k=1}^n k$$

$$= \frac{1}{2}n(n+1)$$

解説

数列の和から一般項を求める基本的な手順を適用する問題である。(1) において、計算が正しく行えているかの確認として $n=1$ のときの値と整合するかを必ずチェックしたい。

(2) は「(1)の結果を用いて」という誘導に従うことで、$\frac{0}{0}$ の不定形となる極限を、多項式の和の極限に帰着させている。仮にこの誘導がなく直接極限を求めようとした場合は、微分を利用するロピタルの定理を用いるか、分子を $(x-1)^2$ で因数分解するなどの工夫が必要になる。

答え

(1) $nx^{n-1}$

(2) $\frac{1}{2}n(n+1)$