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九州大学 1962年文系第7問解説

方針・初手

与えられた数列の和の式から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるのが第一歩である。 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ とおき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$) の関係を用いて一般項を導出する。次に、極限の式に含まれる2つの和（偶数番目の項の和、奇数番目の項の和）をそれぞれ計算し、$n$ の式で表す。最後に、$\infty - \infty$ 型となる無理式の極限を、分子の有理化によって求める。

解法1

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ とおく。与えられた条件より、

$$S_n = 3n^2 \quad (n = 1, 2, 3, \cdots)$$

である。

$n \ge 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$$\begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= 3n^2 - 3(n-1)^2 \\ &= 3n^2 - 3(n^2 - 2n + 1) \\ &= 6n - 3 \end{aligned}$$

となる。 $n = 1$ のとき、与えられた式より

$$a_1 = S_1 = 3 \cdot 1^2 = 3$$

であり、これは $a_n = 6n - 3$ に $n = 1$ を代入した値と一致する。したがって、すべての自然数 $n$ について

$$a_n = 6n - 3$$

である。

極限の式に含まれるそれぞれの和を計算する。

偶数番目の項の和について、第 $k$ 項は $a_{2k} = 6(2k) - 3 = 12k - 3$ であるから、

$$\begin{aligned} a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n} &= \sum_{k=1}^n (12k - 3) \\ &= 12 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - 3n \\ &= 6n(n+1) - 3n \\ &= 6n^2 + 3n \end{aligned}$$

となる。

奇数番目の項の和について、第 $k$ 項は $a_{2k-1} = 6(2k-1) - 3 = 12k - 9$ であるから、

$$\begin{aligned} a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1} &= \sum_{k=1}^n (12k - 9) \\ &= 12 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - 9n \\ &= 6n(n+1) - 9n \\ &= 6n^2 - 3n \end{aligned}$$

となる。

これらを用いて極限を計算する。求める極限は

$$\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}} - \sqrt{a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}} \right)$$

$$= \lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{6n^2 + 3n} - \sqrt{6n^2 - 3n} \right)$$

となる。これは $\infty - \infty$ 型の極限であるため、分子を有理化して変形する。

$$\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{6n^2 + 3n} - \sqrt{6n^2 - 3n})(\sqrt{6n^2 + 3n} + \sqrt{6n^2 - 3n})}{\sqrt{6n^2 + 3n} + \sqrt{6n^2 - 3n}} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(6n^2 + 3n) - (6n^2 - 3n)}{\sqrt{6n^2 + 3n} + \sqrt{6n^2 - 3n}} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{6n}{\sqrt{6n^2 + 3n} + \sqrt{6n^2 - 3n}} \end{aligned}$$

分母・分子を $n$ ($n > 0$ より $n = \sqrt{n^2}$) で割ると、

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{6}{\sqrt{6 + \frac{3}{n}} + \sqrt{6 - \frac{3}{n}}} &= \frac{6}{\sqrt{6 + 0} + \sqrt{6 - 0}} \\ &= \frac{6}{2\sqrt{6}} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$

となる。

解説

数列の和から一般項を求める手順と、無理式の極限計算を組み合わせた標準的な問題である。和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるときは、$n \ge 2$ の場合と $n = 1$ の場合の確認を忘れないようにする。無理式の極限 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{f(n)} - \sqrt{g(n)})$ において、最高次の項の係数が一致する場合は $\infty - \infty$ の不定形となるため、分子の有理化を行って $\frac{\infty}{\infty}$ 型に帰着させるのが定石である。本問では $\sqrt{6n^2}$ の部分が相殺されるため、有理化が必要になる。