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九州大学 1961年文系第7問解説

方針・初手

(1) 与えられた四次関数 $f(x)$ を微分し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。そこから増減表を作成して極大値と極小値を求める。 (2) (1) で求めた極値と $y$ 切片（$f(0)$ の値）をもとに $y=f(x)$ のグラフの概形を考え、$x$ 軸の正の部分と負の部分それぞれとの交点の個数を調べる。

解法1

(1)

与えられた関数を $f(x)$ とする。

$$f(x) = x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 1$$

微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 12x^2 - 4x + 12 \\ &= 4(x^3 - 3x^2 - x + 3) \\ &= 4\{x^2(x - 3) - (x - 3)\} \\ &= 4(x^2 - 1)(x - 3) \\ &= 4(x + 1)(x - 1)(x - 3) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1, 1, 3$ である。

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、それぞれの極値は以下のように計算される。

$$f(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 12(-1) + 1 = 1 + 4 - 2 - 12 + 1 = -8$$

$$f(1) = 1^4 - 4\cdot1^3 - 2\cdot1^2 + 12\cdot1 + 1 = 1 - 4 - 2 + 12 + 1 = 8$$

$$f(3) = 3^4 - 4\cdot3^3 - 2\cdot3^2 + 12\cdot3 + 1 = 81 - 108 - 18 + 36 + 1 = -8$$

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ で極大値 $8$、$x = -1, 3$ で極小値 $-8$ をとる。

(2)

方程式 $x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 12x + 1 = 0$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しい。また、正根・負根の個数は、それぞれ $y$ 軸より右側・左側での交点の個数に等しい。

$f(0) = 1 > 0$ であり、(1) の増減表と極値から、グラフの概形について以下のことがわかる。

・区間 $(-\infty, -1)$ において、関数は連続かつ単調減少であり、$f(-1) = -8 < 0$ であるから、この区間に負の交点を $1$ つ持つ。

・区間 $(-1, 1)$ において、関数は連続かつ単調増加である。$f(-1) = -8 < 0$、$f(0) = 1 > 0$、$f(1) = 8 > 0$ であるから、$-1 < x < 0$ の範囲に負の交点を $1$ つ持つ。

・区間 $(1, 3)$ において、関数は連続かつ単調減少である。$f(1) = 8 > 0$、$f(3) = -8 < 0$ であるから、$1 < x < 3$ の範囲に正の交点を $1$ つ持つ。

・区間 $(3, \infty)$ において、関数は連続かつ単調増加である。$f(3) = -8 < 0$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であるから、$x > 3$ の範囲に正の交点を $1$ つ持つ。

以上より、負の領域に $2$ つ、正の領域に $2$ つの交点を持つ。したがって、与えられた方程式の正根の個数は $2$ 個、負根の個数は $2$ 個である。

解説

四次関数の微分と極値の計算、および中間値の定理の考え方を用いて方程式の実数解の個数と符号を判定する標準的な問題である。 (2) で単なる「実数解の個数」ではなく「正根、負根の個数」を問われているため、極値の $x$ 座標と $y$ 座標の符号だけでなく、$y$ 切片（$f(0)$ の符号）を忘れずに確認し、$x=0$ を境界として交点がどの区間に存在するのかを明確に論証することが重要である。