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九州大学 1970年文系第2問解説

方針・初手

(1) 与えられた2つの曲線の式を連立させて交点の座標を求める。$x^2$、$y^2$ についての連立1次方程式とみなして解くと計算がスムーズに進む。

(2) だ円と円の大小関係（上下関係）を把握し、積分区間を決定する。図形は $x$ 軸、$y$ 軸について対称であるため、第1象限の領域を $x$ 軸のまわりに回転させた体積を求め、それを2倍するという方針をとる。積分の計算において、(1) で求めた交点の $x$ 座標を $x_0$ などと文字で置いて進めると見通しが良くなる。

解法1

(1)

だ円と円の式をそれぞれ①、②とする。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{①}$$

$$x^2 + y^2 = c^2 \quad \cdots \text{②}$$

②より $y^2 = c^2 - x^2$ である。これを①に代入して $y$ を消去する。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{c^2 - x^2}{b^2} = 1$$

両辺に $a^2b^2$ を掛けて整理する。

$$b^2 x^2 + a^2(c^2 - x^2) = a^2 b^2$$

$$(a^2 - b^2) x^2 = a^2 c^2 - a^2 b^2$$

$$(a^2 - b^2) x^2 = a^2 (c^2 - b^2)$$

$a > c > b > 0$ より $a^2 - b^2 > 0$ であるから、両辺を $a^2 - b^2$ で割ることができる。

$$x^2 = \frac{a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}$$

同様に、②より $x^2 = c^2 - y^2$ を①に代入して $x$ を消去する。

$$\frac{c^2 - y^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

両辺に $a^2b^2$ を掛けて整理する。

$$b^2(c^2 - y^2) + a^2 y^2 = a^2 b^2$$

$$(a^2 - b^2) y^2 = a^2 b^2 - b^2 c^2$$

$$(a^2 - b^2) y^2 = b^2 (a^2 - c^2)$$

$$y^2 = \frac{b^2(a^2 - c^2)}{a^2 - b^2}$$

$a > c > b > 0$ より $c^2 - b^2 > 0$、$a^2 - c^2 > 0$ であるため、求めた $x^2$、$y^2$ はともに正となる。第1象限の交点においては $x > 0$、$y > 0$ であるから、

$$x = \frac{a\sqrt{c^2 - b^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}}, \quad y = \frac{b\sqrt{a^2 - c^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}}$$

したがって、求める交点の座標は

$$\left( \frac{a\sqrt{c^2 - b^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}}, \ \frac{b\sqrt{a^2 - c^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right)$$

(2)

だ円と円の内部の共通部分について考える。この領域は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称であるため、第1象限にある領域を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積を求め、それを2倍すればよい。

(1) で求めた交点の $x$ 座標を $x_0$ とする。

$$x_0 = \frac{a\sqrt{c^2 - b^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}}$$

$x = 0$ のとき、だ円の $y$ 座標は $b$、円の $y$ 座標は $c$ である。$b < c$ より、区間 $0 \le x \le x_0$ においてはだ円が円の内部にあり、境界はだ円となる。

一方、だ円の $x$ 切片は $a$、円の $x$ 切片は $c$ であり、$c < a$ である。交点以降の区間においては円がだ円の内部に入り、境界は円となる。

境界の切り替わりである $x_0$ が $c$ より小さいことは以下のように確認できる。

$$c^2 - x_0^2 = c^2 - \frac{a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{c^2(a^2 - b^2) - a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{b^2(a^2 - c^2)}{a^2 - b^2} > 0$$

したがって、$x_0 < c$ である。

ゆえに、第1象限における共通部分は、 $0 \le x \le x_0$ において $y \le b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$ $x_0 \le x \le c$ において $y \le \sqrt{c^2 - x^2}$ で表される領域となる。

求める立体の体積を $V$ とすると、

$$\frac{V}{2} = \pi \int_0^{x_0} b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) dx + \pi \int_{x_0}^c (c^2 - x^2) dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_0^{x_0} b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) dx = b^2 \left[ x - \frac{x^3}{3a^2} \right]_0^{x_0} = b^2 x_0 \left( 1 - \frac{x_0^2}{3a^2} \right)$$

$$\int_{x_0}^c (c^2 - x^2) dx = \left[ c^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_0}^c = \frac{2}{3}c^3 - c^2 x_0 + \frac{x_0^3}{3}$$

これらを足し合わせる。

$$\frac{V}{2\pi} = b^2 x_0 - \frac{b^2 x_0^3}{3a^2} + \frac{2}{3}c^3 - c^2 x_0 + \frac{x_0^3}{3}$$

$$\frac{V}{2\pi} = \frac{2}{3}c^3 + (b^2 - c^2) x_0 + \frac{x_0^3}{3} \left( 1 - \frac{b^2}{a^2} \right)$$

ここで、$x_0$ の定義より $x_0^2 \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2} = c^2 - b^2$ であることを用いて第3項を変形する。

$$\frac{x_0^3}{3} \left( 1 - \frac{b^2}{a^2} \right) = \frac{x_0}{3} \cdot x_0^2 \frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{x_0}{3} (c^2 - b^2)$$

代入してさらに整理する。

$$\frac{V}{2\pi} = \frac{2}{3}c^3 - (c^2 - b^2) x_0 + \frac{1}{3} (c^2 - b^2) x_0$$

$$\frac{V}{2\pi} = \frac{2}{3}c^3 - \frac{2}{3} (c^2 - b^2) x_0 = \frac{2}{3} \{ c^3 - (c^2 - b^2) x_0 \}$$

両辺を $2\pi$ 倍して $V$ を求める。

$$V = \frac{4}{3}\pi \{ c^3 - (c^2 - b^2) x_0 \}$$

最後に $x_0 = \frac{a\sqrt{c^2 - b^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ を代入する。

$$V = \frac{4}{3}\pi \left\{ c^3 - \frac{a(c^2 - b^2)\sqrt{c^2 - b^2}}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right\}$$

解説

2つの曲線の交点を境にして、図形の上下関係が入れ替わる回転体の体積を求める問題である。

(1) においては、それぞれの式を $x^2, y^2$ に関する連立方程式とみることで、無理な代入計算を避けることができる。また、出てきた結果の符号判定を問題文の条件 $a > c > b > 0$ を用いて忘れずに行う必要がある。

(2) においては、どの領域が積分範囲になるかを図形的に正しく捉えられるかが鍵となる。だ円と円のそれぞれの $x$ 切片と $y$ 切片の大小関係を考えることで、交点 $x_0$ を境に「だ円」から「円」へと境界線が移り変わることが判断できる。

積分の計算では、交点の $x$ 座標をすぐに代入せず、$x_0$ のまま計算を進めるのが鉄則である。最後に出てくる $x_0^3$ の項は、$x_0^2 = \frac{a^2(c^2 - b^2)}{a^2 - b^2}$ の関係を用いると1次の項に次数下げができ、きれいに因数分解できる形にまとまる。