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九州大学 1970年文系第3問解説

方針・初手

新しく定義された演算子 $*$ と $*\sqrt{\quad}$ に従い、数式を正確に書き下すことから始める。 (1) および (2) は定義通りの式変形を行い、左辺と右辺が一致することを示す。 (3) はまず $k * k = a$ という関係から $k$ を $a$ を用いて表し、$*\sqrt{a}$ の定義を明確な式にする。その後、底が $10$ の対数の性質と、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて不等式を証明する。

解法1

(1)

演算の定義 $a * b = \log(10^a + 10^b)$ より、$10^{a * b} = 10^{\log(10^a + 10^b)} = 10^a + 10^b$ が成り立つ。

左辺を計算する。

$$\begin{aligned} (a * b) * c &= \log(10^{a * b} + 10^c) \\ &= \log(10^{\log(10^a + 10^b)} + 10^c) \\ &= \log(10^a + 10^b + 10^c) \end{aligned}$$

右辺を計算する。

$$\begin{aligned} a * (b * c) &= \log(10^a + 10^{b * c}) \\ &= \log(10^a + 10^{\log(10^b + 10^c)}) \\ &= \log(10^a + 10^b + 10^c) \end{aligned}$$

左辺と右辺が一致するため、$(a * b) * c = a * (b * c)$ が成り立つ。

(2)

左辺を計算する。

$$\begin{aligned} (a * b) + c &= \log(10^a + 10^b) + c \\ &= \log(10^a + 10^b) + \log 10^c \\ &= \log \{10^c(10^a + 10^b)\} \\ &= \log(10^{a+c} + 10^{b+c}) \end{aligned}$$

右辺を計算する。

$$(a + c) * (b + c) = \log(10^{a+c} + 10^{b+c})$$

左辺と右辺が一致するため、$(a * b) + c = (a + c) * (b + c)$ が成り立つ。

(3)

まず、$*\sqrt{a}$ の具体的な式を求める。$k * k = a$ のとき、定義より以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} a &= \log(10^k + 10^k) \\ &= \log(2 \cdot 10^k) \\ &= \log 2 + \log 10^k \\ &= \log 2 + k \end{aligned}$$

よって、$k = a - \log 2$ となり、$k = *\sqrt{a}$ であるから、以下の関係が得られる。

$$*\sqrt{a} = a - \log 2$$

これを用いて、証明すべき不等式の左辺を変形する。

$$\begin{aligned} *\sqrt{a * b} &= (a * b) - \log 2 \\ &= \log(10^a + 10^b) - \log 2 \\ &= \log \frac{10^a + 10^b}{2} \end{aligned}$$

ここで、$10^a > 0$ かつ $10^b > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{10^a + 10^b}{2} \geqq \sqrt{10^a \cdot 10^b} = \sqrt{10^{a+b}} = 10^{\frac{a+b}{2}}$$

（等号成立は $10^a = 10^b$、すなわち $a = b$ のとき）

対数の底は $10$ であり、$10 > 1$ であるから、真数の大小関係は対数をとっても保存される。

$$\log \frac{10^a + 10^b}{2} \geqq \log 10^{\frac{a+b}{2}} = \frac{a+b}{2}$$

したがって、以下の不等式が成り立つ。

$$*\sqrt{a * b} \geqq \frac{a + b}{2}$$

解説

新しく定義された演算に対する証明問題である。 (1) と (2) は、定義式をただ当てはめて計算を進めるだけで解決するが、対数と指数の関係式 $10^{\log x} = x$ をスムーズに使えるかが鍵となる。 (3) は、見慣れない記号 $*\sqrt{\quad}$ の意味を読み解き、$*\sqrt{a} = a - \log 2$ を導き出すことが第一歩である。最終的には $\frac{10^a + 10^b}{2} \geqq 10^{\frac{a+b}{2}}$ という指数関数を含んだ不等式に帰着するが、これは相加平均と相乗平均の大小関係を用いる典型的な処理である。不等式を証明する際、対数の底が $1$ より大きいことを理由として明記することが減点を防ぐポイントとなる。