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九州大学 1970年文系第5問解説

方針・初手

$f(x)$ は1次関数、$g(x)$ は2次関数であるから、$f(x) = ax+b$ ($a \neq 0$)、$g(x) = px^2+qx+r$ ($p \neq 0$) とおいて、与えられた定積分の条件式に代入する。

積分区間が $[-1, 1]$ と原点に関して対称であるため、偶関数・奇関数の定積分の性質を活用して計算を効率化する。

解法1

$f(x)$ は1次関数、$g(x)$ は2次関数であるから、実数の定数 $a, b, p, q, r$ ($a \neq 0, p \neq 0$) を用いて

$$f(x) = ax + b$$

$$g(x) = px^2 + qx + r$$

とおくことができる。

まず、$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$ より

$$\int_{-1}^{1} (ax + b) dx = 2 \int_{0}^{1} b dx = 2b = 0$$

ゆえに $b = 0$ となり、$f(x) = ax$ となる。

次に、$\int_{-1}^{1} \{f(x)\}^2 dx = 1$ より

$$\int_{-1}^{1} (ax)^2 dx = a^2 \int_{-1}^{1} x^2 dx = 2a^2 \int_{0}^{1} x^2 dx = 2a^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}a^2 = 1$$

$$a^2 = \frac{3}{2}$$

$a \neq 0$ を満たし、$a = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ となる。

続いて、$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 0$ より

$$\int_{-1}^{1} (px^2 + qx + r) dx = 2 \int_{0}^{1} (px^2 + r) dx = 2 \left[ \frac{p}{3}x^3 + rx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{p}{3} + r \right) = 0$$

ゆえに $r = -\frac{p}{3}$ となる。

また、$\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx = 0$ について、$f(x) = ax$ を用いると

$$\int_{-1}^{1} ax(px^2 + qx + r) dx = a \int_{-1}^{1} (px^3 + qx^2 + rx) dx = a \cdot 2 \int_{0}^{1} qx^2 dx = 2a \left[ \frac{q}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{2aq}{3} = 0$$

ここで $a \neq 0$ であるから、$q = 0$ となる。

したがって、$g(x) = px^2 - \frac{p}{3} = p\left(x^2 - \frac{1}{3}\right)$ と表せる。

最後に、$\int_{-1}^{1} \{g(x)\}^2 dx = 1$ より

$$\int_{-1}^{1} \left\{ p\left(x^2 - \frac{1}{3}\right) \right\}^2 dx = p^2 \int_{-1}^{1} \left( x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9} \right) dx = 2p^2 \int_{0}^{1} \left( x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{9} \right) dx$$

$$= 2p^2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2}{9}x^3 + \frac{x}{9} \right]_0^1 = 2p^2 \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{9} + \frac{1}{9} \right) = 2p^2 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) = 2p^2 \cdot \frac{4}{45} = \frac{8}{45}p^2 = 1$$

$$p^2 = \frac{45}{8}$$

$p \neq 0$ を満たし、$p = \pm \sqrt{\frac{45}{8}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{4}$ となる。

以上より、$f(x), g(x)$ は次のように求められる。

$$f(x) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$$

$$g(x) = \pm \frac{3\sqrt{10}}{4} \left( x^2 - \frac{1}{3} \right) = \pm \frac{\sqrt{10}}{4} (3x^2 - 1)$$

（複号はそれぞれ独立）

解説

関数の内積（ここでは $\int_{-1}^1 f(x)g(x) dx$）とノルムに関する問題である。背景には直交多項式（ルジャンドル多項式）の概念がある。

積分区間が $[-1, 1]$ であるため、偶関数（$x^2, x^4, \text{定数}$ など）と奇関数（$x, x^3$ など）の定積分の性質を活かすと計算量を劇的に減らすことができる。逆にこれを用いずにすべて展開して積分すると、計算ミスを誘発しやすい。各条件から係数を1つずつ確実に決定していくことがポイントである。