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九州大学 1993年文系第2問解説

方針・初手

与えられた1次変換を行列で表し、直線上の点が変換後も指定された直線上にあるという条件を立式する。直線上の点は媒介変数（例えば $x$ 座標そのもの）を用いて表現できるため、変換後の座標を直線の方程式に代入したものが恒等式となることを利用して、未知数 $a, b, c$ を決定する。領域の変換については、求めた行列の逆変換を利用することで代数的に処理できる。

解法1

(1)

与えられた1次変換を表す行列を $A$ とする。

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$$

直線 $l: y = 3x$ 上の任意の点 $(x, 3x)$ は、変換 $A$ によって点 $(x', y')$ に移るとする。

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 3x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+3b)x \\ (c-3a)x \end{pmatrix}$$

この点 $(x', y')$ が直線 $l$ 自身に移るため、$y' = 3x'$ が任意の $x$ について成り立つ。

$$(c-3a)x = 3(a+3b)x$$

$$(6a + 9b - c)x = 0$$

これが $x$ についての恒等式であるから、

$$6a + 9b - c = 0 \cdots \text{(i)}$$

次に、直線 $m: y = 2x + \frac{1}{2}$ 上の任意の点 $\left(x, 2x + \frac{1}{2}\right)$ は、変換 $A$ によって直線 $n: y = 5x + 2$ 上の点 $(x'', y'')$ に移るとする。

$$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + b\left(2x + \frac{1}{2}\right) \\ cx - a\left(2x + \frac{1}{2}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+2b)x + \frac{b}{2} \\ (c-2a)x - \frac{a}{2} \end{pmatrix}$$

この点 $(x'', y'')$ が直線 $n$ 上にあるため、$y'' = 5x'' + 2$ が任意の $x$ について成り立つ。

$$(c-2a)x - \frac{a}{2} = 5\left\{ (a+2b)x + \frac{b}{2} \right\} + 2$$

展開して整理すると、

$$(c-2a)x - \frac{a}{2} = (5a+10b)x + \frac{5b}{2} + 2$$

これが $x$ についての恒等式であるから、両辺の係数を比較して、

$$\begin{cases} c - 2a = 5a + 10b \\ -\frac{a}{2} = \frac{5b}{2} + 2 \end{cases}$$

これらを整理すると、

$$\begin{cases} 7a + 10b - c = 0 \cdots \text{(ii)} \\ a + 5b = -4 \cdots \text{(iii)} \end{cases}$$

(ii) $-$ (i) より、

$$a + b = 0 \iff b = -a \cdots \text{(iv)}$$

(iv) を (iii) に代入して、

$$a - 5a = -4 \iff -4a = -4 \iff a = 1$$

(iv) より、

$$b = -1$$

これらを (i) に代入して、

$$6(1) + 9(-1) - c = 0 \iff c = -3$$

よって、$a = 1, b = -1, c = -3$ である。

(2)

(1) の結果より、1次変換を表す行列 $A$ は次のように定まる。

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$$

行列 $A$ の行列式は $\det(A) = 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-3) = -4 \neq 0$ であるから、逆行列 $A^{-1}$ が存在する。

$$A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$$

変換前の領域 $y \geqq -x$ 内の任意の点 $(x, y)$ が変換によって点 $(X, Y)$ に移るとする。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$$

これより、$x, y$ はそれぞれ次のように表される。

$$\begin{cases} x = \frac{1}{4}(X - Y) \\ y = \frac{1}{4}(-3X - Y) \end{cases}$$

点 $(x, y)$ は不等式 $y \geqq -x$ を満たすため、代入して、

$$\frac{1}{4}(-3X - Y) \geqq -\frac{1}{4}(X - Y)$$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$-3X - Y \geqq -X + Y$$

$$2Y \leqq -2X$$

$$Y \leqq -X$$

したがって、求める像は不等式 $y \leqq -x$ の表す領域である。

解法2

(2) の別解

行列 $A$ による境界線 $y = -x$ の像を調べる。直線上の点 $(x, -x)$ は変換により $(X, Y)$ に移るとする。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ -2x \end{pmatrix}$$

これより $Y = -X$ となるため、境界線 $y = -x$ は 1次変換によってそれ自身に移る。行列式が $\det(A) = -4 \neq 0$ であるため、この変換は全単射であり、直線を境界とする半平面は半平面に移る。

領域 $y \geqq -x$ に含まれる境界以外の点、例えば $(0, 1)$ の像を調べる。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

点 $(-1, -1)$ は境界線 $y = -x$ を境にして $y \leqq -x$ の側に存在する。したがって、求める像は不等式 $y \leqq -x$ の表す領域である。