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九州大学 1994年文系第4問解説

方針・初手

反復試行の確率を考える問題である。太郎君が勝つ（先に上が4回出る）か、太郎君が負ける（先に下が3回出る）までの各パターンの確率を整理する。
「ちょうど $n$ 回目で勝負がつく」確率を求めるには、最後の1回の結果とその前までの $(n-1)$ 回で起こる事象とを分けて計算する。
試行が終了するのは、最短で3回目、最長で $(4-1)+(3-1)+1 = 6$ 回目である。得点の期待値を求める際には、すべての終了パターンを網羅できているかに注意する。

解法1

(1) 画びょうが上を向く確率を $\frac{2}{3}$、下を向く確率を $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ とする。太郎君が勝つのは、4回目、5回目、6回目のいずれかで4回目の上を向いた場合であり、それぞれの事象は互いに排反である。

(i) 4回目で勝つ確率 4回とも上を向くので、

$$\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81} = \frac{144}{729}$$

(ii) 5回目で勝つ確率 4回目までに上が3回、下が1回出て、5回目に上を向くので、

$${}_4\mathrm{C}_3 \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^1 \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{64}{243} = \frac{192}{729}$$

(iii) 6回目で勝つ確率 5回目までに上が3回、下が2回出て、6回目に上を向くので、

$${}_5\mathrm{C}_3 \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \frac{2}{3} = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{160}{729}$$

これらを足し合わせて、太郎君が勝つ確率は、

$$\frac{144}{729} + \frac{192}{729} + \frac{160}{729} = \frac{496}{729}$$

(2) 「5回目で勝負が決まった」という事象を $A$、「太郎君が勝った」という事象を $B$ とする。求める確率は条件付き確率 $P_A(B)$ であり、

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

で計算できる。 5回目で勝負が決まるのは、5回目で太郎君が勝つ場合か、5回目で太郎君が負ける場合であり、これらは排反である。 5回目で太郎君が負ける（先に下が3回出る）のは、4回目までに上が2回、下が2回出て、5回目に下を向く場合である。その確率は、

$${}_4\mathrm{C}_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \frac{1}{3} = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{72}{729}$$

5回目で勝負が決まる確率 $P(A)$ は、(1)の (ii) と上の確率の和であるから、

$$P(A) = \frac{192}{729} + \frac{72}{729} = \frac{264}{729}$$

また、5回目で太郎君が勝つ確率 $P(A \cap B)$ は $\frac{192}{729}$ であるから、求める条件付き確率は、

$$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{192}{729}}{\frac{264}{729}} = \frac{192}{264} = \frac{8}{11}$$

(3) 勝負が終わるまでの総得点の期待値を求めるため、すべての場合の確率と得点を整理する。太郎君が勝つ場合の得点と確率は(1)より以下のようになる。

4回で勝つ（上4、下0）：得点 $4$、確率 $\frac{144}{729}$
5回で勝つ（上4、下1）：得点 $3$、確率 $\frac{192}{729}$
6回で勝つ（上4、下2）：得点 $2$、確率 $\frac{160}{729}$

一方、太郎君が負けるのは、3回目、4回目、5回目、6回目のいずれかで3回目の下が出た場合である。

3回で負ける（上0、下3）：得点 $-3$、確率

$$\left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} = \frac{27}{729}$$

4回で負ける（上1、下3）：得点 $-2$、確率

$${}_3\mathrm{C}_1 \left( \frac{2}{3} \right)^1 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{54}{729}$$

5回で負ける（上2、下3）：得点 $-1$、確率（(2)より）

$$\frac{72}{729}$$

6回で負ける（上3、下3）：得点 $0$、確率

$${}_5\mathrm{C}_2 \left( \frac{2}{3} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{729}$$

以上より、太郎君の平均得点（期待値 $E$）は、各場合の「得点 $\times$ 確率」の総和であるから、

$$\begin{aligned} E &= 4 \times \frac{144}{729} + 3 \times \frac{192}{729} + 2 \times \frac{160}{729} + (-3) \times \frac{27}{729} + (-2) \times \frac{54}{729} + (-1) \times \frac{72}{729} + 0 \times \frac{80}{729} \\ &= \frac{576 + 576 + 320 - 81 - 108 - 72 + 0}{729} \\ &= \frac{1472 - 261}{729} \\ &= \frac{1211}{729} \end{aligned}$$

解説

反復試行において「先に〇回出たら終了」という設定は、確率分野における典型問題である。「ちょうど $n$ 回目で条件を満たす」確率を求めるには、終了の決定打となる最後の1回と、それ以前の $(n-1)$ 回の事象を切り離して計算する必要がある。
(3) の期待値計算では、場合分けに漏れがないか慎重に確認することが重要である。特に「6回目で負ける」パターンの見落としが起こりやすい。すべての終了パターンの確率の和が $1$ になることを検算に利用すると安全である。