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九州大学 1985年文系第5問解説

方針・初手

箱 $a$ および箱 $b$ に入っている札の総数をそれぞれ求め、各数字の札を取り出す確率を式で表すことから始める。

(1) は $A$ が取り出した数字 $i$ が、$B$ が取り出した数字 $j$ よりも大きくなる確率を、二重のシグマ（$\sum$）を用いて直接計算する。

(2) は、与えられた「得点」のルールを数式化すると、勝敗にかかわらず $A$ の得点が「$A$ の取り出した数字」引く「$B$ の取り出した数字」で表せることに気づくことが最大のポイントである。これにより、期待値の線形性を利用して計算を大幅に簡略化できる。

解法1

箱 $a$ に入っている札の総数を $N_a$ とすると、

$$N_a = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$$

である。同様に、箱 $b$ に入っている札の総数 $N_b$ は、

$$N_b = \sum_{k=1}^{n} (n-k+1) = \frac{1}{2}n(n+1)$$

である。

したがって、$A$ が数字 $i$ ($1 \leqq i \leqq n$) を取り出す確率 $P_A(i)$ は

$$P_A(i) = \frac{i}{\frac{1}{2}n(n+1)} = \frac{2i}{n(n+1)}$$

であり、$B$ が数字 $j$ ($1 \leqq j \leqq n$) を取り出す確率 $P_B(j)$ は

$$P_B(j) = \frac{n-j+1}{\frac{1}{2}n(n+1)} = \frac{2(n-j+1)}{n(n+1)}$$

である。

(1)

$A$ が勝つのは、$A$ が数字 $i$、$B$ が数字 $j$ を取り出し、$i > j$ となるときである。その確率 $P$ は、互いに排反な事象の和であるから、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} P &= \sum_{i=2}^{n} \sum_{j=1}^{i-1} P_A(i) P_B(j) \\ &= \sum_{i=2}^{n} \sum_{j=1}^{i-1} \frac{2i}{n(n+1)} \cdot \frac{2(n-j+1)}{n(n+1)} \\ &= \frac{4}{n^2(n+1)^2} \sum_{i=2}^{n} \left( i \sum_{j=1}^{i-1} (n-j+1) \right) \end{aligned}$$

ここで、内側の和は初項 $n$、末項 $n-(i-1)+1 = n-i+2$、項数 $i-1$ の等差数列の和であるから、

$$\sum_{j=1}^{i-1} (n-j+1) = \frac{1}{2}(i-1) \{ n + (n-i+2) \} = \frac{1}{2}(i-1)(2n-i+2)$$

となる。これを元の式に戻して和を計算する（$i=1$ のときは $(i-1)$ の項により $0$ となるため、$i=1$ からの和としても値は変わらない）。

$$\begin{aligned} \sum_{i=2}^{n} i \cdot \frac{1}{2}(i-1)(2n-i+2) &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (i^2-i)(2n-i+2) \\ &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \{ -i^3 + (2n+3)i^2 - (2n+2)i \} \end{aligned}$$

公式 $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2}n(n+1)$、$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$、$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ を用いて計算を進める。

$$\begin{aligned} & \frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 + (2n+3) \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - (2n+2) \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12}n(n+1) \{ -3n(n+1) + 2(2n+3)(2n+1) - 12(n+1) \} \\ &= \frac{1}{24}n(n+1) ( -3n^2 - 3n + 8n^2 + 16n + 6 - 12n - 12 ) \\ &= \frac{1}{24}n(n+1) ( 5n^2 + n - 6 ) \\ &= \frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(5n+6) \end{aligned}$$

よって、求める確率 $P$ は

$$\begin{aligned} P &= \frac{4}{n^2(n+1)^2} \cdot \frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(5n+6) \\ &= \frac{(n-1)(5n+6)}{6n(n+1)} \end{aligned}$$

(2)

$A$、$B$ が取り出した札の数字をそれぞれ確率変数 $X$、$Y$ とする。問題文より、各場合における $A$ の得点は以下のようになる。

$X > Y$（$A$ の勝ち）のとき、得点は $X - Y$
$X < Y$（$A$ の負け）のとき、得点は $-(Y - X) = X - Y$
$X = Y$（引き分け）のとき、得点について明記されていないが、差の絶対値は $0$ であり $X - Y = 0$ と解釈できる

したがって、いかなる場合でも $A$ の得点は $X - Y$ と表せる。求める期待値は $E(X-Y)$ であり、期待値の線形性から $E(X-Y) = E(X) - E(Y)$ となる。

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

$$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{i=1}^{n} i P_A(i) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot \frac{2i}{n(n+1)} \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{i=1}^{n} i^2 \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{2n+1}{3} \end{aligned}$$

次に、$Y$ の期待値 $E(Y)$ を求める。

$$E(Y) = \sum_{j=1}^{n} j P_B(j) = \sum_{j=1}^{n} j \cdot \frac{2(n-j+1)}{n(n+1)}$$

ここで、$k = n-j+1$ とおくと、$j = n-k+1$ であり、和の順序を反転させることで次のように計算できる。

$$\begin{aligned} E(Y) &= \sum_{k=1}^{n} (n-k+1) \frac{2k}{n(n+1)} \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} \{ (n+1)k - k^2 \} \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \left\{ (n+1) \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \right\} \\ &= (n+1) - \frac{2n+1}{3} \\ &= \frac{n+2}{3} \end{aligned}$$

以上より、$A$ の得点の期待値 $E(X-Y)$ は

$$\begin{aligned} E(X-Y) &= E(X) - E(Y) \\ &= \frac{2n+1}{3} - \frac{n+2}{3} \\ &= \frac{n-1}{3} \end{aligned}$$

解法2

(2) の別解：分布の対称性の利用

$A$ が取り出す数字の確率変数 $X$ と、$B$ が取り出す数字の確率変数 $Y$ について、その確率分布に注目する。

$$P_B(k) = \frac{2(n-k+1)}{n(n+1)}$$

に対して、

$$P_A(n-k+1) = \frac{2(n-k+1)}{n(n+1)}$$

が成り立つことから、$Y$ の確率分布は、$n+1-X$ の確率分布と完全に一致する。したがって、期待値についても $E(Y) = E(n+1-X)$ が成り立つ。

期待値の線形性より

$$E(Y) = n + 1 - E(X)$$

であるから、求める得点の期待値 $E(X-Y)$ は

$$\begin{aligned} E(X-Y) &= E(X) - E(Y) \\ &= E(X) - \{ n + 1 - E(X) \} \\ &= 2E(X) - (n + 1) \end{aligned}$$

と表せる。解法1と同様に $E(X) = \frac{2n+1}{3}$ を求め、上式に代入すると

$$\begin{aligned} E(X-Y) &= 2 \left( \frac{2n+1}{3} \right) - (n+1) \\ &= \frac{4n+2 - 3n - 3}{3} \\ &= \frac{n-1}{3} \end{aligned}$$

解説

(1) はシグマの計算を正しく遂行できるかを問う典型的な確率の問題である。二重和の計算では、内側のシグマを先に $i$ の式として求め、その後に外側のシグマを計算するという手順を踏む。計算量が多くなるため、等差数列の和の公式や累乗の和の公式を正確に使いこなす必要がある。

(2) は、場合分けをして期待値の定義通りに計算しようとすると非常に複雑になる。しかし、「勝敗にかかわらず、得点は常に $X-Y$ である」という事実を見抜くことで、期待値の線形性 $E(X-Y) = E(X) - E(Y)$ を使って極めてシンプルに解くことができる。また、解法2のように確率分布の対称性に気づけば、一方の期待値の計算すら省略することができ、より計算ミスを減らすことが可能である。