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九州大学 2006年文系第3問解説

方針・初手

(1)と(2)は、ベクトルの大きさの最小性に関する証明問題である。絶対値を含む不等式の証明は、両辺が $0$ 以上であることを確認したうえで、両辺を2乗して比較するのが定石である。あるいは、変数を定数とみなせる部分と変化する部分に分割して展開し、非負の項を作る方針が有効である。(3)は(1)と(2)の誘導に乗る形で、(2)の条件を満たす実数 $h, k$ を求めることで最小値とそのときの変数の値を特定できる。

解法1

(1)

条件より、$(h\vec{a} + \vec{b})$ と $\vec{a}$ は垂直であるから、または $\vec{a} = \vec{0}$ であるから、いずれにしても以下の内積が成り立つ。

$$ (h\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 $$

示したい不等式の左辺の2乗を変形すると、

$$ \begin{aligned} |x\vec{a} + \vec{b}|^2 &= |(x-h)\vec{a} + (h\vec{a} + \vec{b})|^2 \\ &= (x-h)^2|\vec{a}|^2 + 2(x-h)\vec{a} \cdot (h\vec{a} + \vec{b}) + |h\vec{a} + \vec{b}|^2 \end{aligned} $$

ここで、$(h\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ を代入すると、

$$ |x\vec{a} + \vec{b}|^2 = (x-h)^2|\vec{a}|^2 + |h\vec{a} + \vec{b}|^2 $$

$(x-h)^2|\vec{a}|^2 \geqq 0$ であるから、

$$ |x\vec{a} + \vec{b}|^2 \geqq |h\vec{a} + \vec{b}|^2 $$

$|x\vec{a} + \vec{b}| \geqq 0$ かつ $|h\vec{a} + \vec{b}| \geqq 0$ であるため、両辺の平方根をとって、

$$ |x\vec{a} + \vec{b}| \geqq |h\vec{a} + \vec{b}| $$

が成り立つ。

(2)

$\vec{u} = h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c}$ とおく。条件より、$\vec{u}$ は $\vec{a}$, $\vec{b}$ のいずれとも垂直であるか、または $\vec{a}$, $\vec{b}$ が零ベクトルであるため、以下の内積が成り立つ。

$$ \vec{u} \cdot \vec{a} = 0, \quad \vec{u} \cdot \vec{b} = 0 $$

示したい不等式の左辺の2乗を変形すると、

$$ \begin{aligned} |x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|^2 &= |(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b} + (h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c})|^2 \\ &= |(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b} + \vec{u}|^2 \\ &= |(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b}|^2 + 2\{(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b}\} \cdot \vec{u} + |\vec{u}|^2 \end{aligned} $$

ここで、内積の部分を展開すると、

$$ 2\{(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b}\} \cdot \vec{u} = 2(x-h)(\vec{a} \cdot \vec{u}) + 2(y-k)(\vec{b} \cdot \vec{u}) $$

$\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$, $\vec{u} \cdot \vec{b} = 0$ を代入すると、この内積の項は $0$ となる。よって、

$$ |x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|^2 = |(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b}|^2 + |\vec{u}|^2 $$

$|(x-h)\vec{a} + (y-k)\vec{b}|^2 \geqq 0$ であるから、

$$ |x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|^2 \geqq |\vec{u}|^2 = |h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c}|^2 $$

両辺ともに $0$ 以上であるため、

$$ |x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}| \geqq |h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c}| $$

が成り立つ。

(3)

(2)の結果より、$|x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|$ が最小となるのは、$x=h, y=k$ のときであり、その最小値は $|h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c}|$ となる。これを満たす $h, k$ は、$(h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c})$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直になるように定めればよい。

成分から内積と大きさを計算する。

$$ |\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot1 + 1\cdot4 + 1\cdot(-2) = 3 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{c} = 1\cdot(-3) + 1\cdot(-6) + 1\cdot6 = -3 $$

$$ |\vec{b}|^2 = 1^2 + 4^2 + (-2)^2 = 21 $$

$$ \vec{b} \cdot \vec{c} = 1\cdot(-3) + 4\cdot(-6) + (-2)\cdot6 = -39 $$

$\vec{u} = h\vec{a} + k\vec{b} + \vec{c}$ とおく。(2)の条件 $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ と $\vec{u} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$$ \begin{cases} h|\vec{a}|^2 + k(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \\ h(\vec{a} \cdot \vec{b}) + k|\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \end{cases} $$

計算した値を代入して、

$$ \begin{cases} 3h + 3k - 3 = 0 \\ 3h + 21k - 39 = 0 \end{cases} $$

第1式より $h + k = 1$、第2式より $h + 7k = 13$ となる。これらを連立して解くと、$6k = 12$ より $k = 2$、$h = -1$ と求まる。よって、$x = -1, y = 2$ のとき、最小値をとる。

このときの最小値は $|-\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}|$ である。ベクトルを計算すると、

$$ -\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} = -(1, 1, 1) + 2(1, 4, -2) + (-3, -6, 6) = (-2, 1, 1) $$

よって、求める最小値は、

$$ |-\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} $$

解法2

(3)の別解（平方完成による直接計算）

$f(x, y) = |x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|^2$ とおく。

$$ f(x, y) = x^2|\vec{a}|^2 + y^2|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2xy(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 2x(\vec{a}\cdot\vec{c}) + 2y(\vec{b}\cdot\vec{c}) $$

成分を用いて必要な値を計算する。解法1と同様に、

$$ |\vec{a}|^2 = 3, \quad |\vec{b}|^2 = 21, \quad |\vec{c}|^2 = 81 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3, \quad \vec{a} \cdot \vec{c} = -3, \quad \vec{b} \cdot \vec{c} = -39 $$

これらを $f(x, y)$ に代入して整理する。

$$ f(x, y) = 3x^2 + 21y^2 + 81 + 6xy - 6x - 78y $$

$x$ について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(x, y) &= 3\{x^2 + 2(y-1)x\} + 21y^2 - 78y + 81 \\ &= 3\{x + (y-1)\}^2 - 3(y-1)^2 + 21y^2 - 78y + 81 \\ &= 3(x + y - 1)^2 - 3(y^2 - 2y + 1) + 21y^2 - 78y + 81 \\ &= 3(x + y - 1)^2 + 18y^2 - 72y + 78 \end{aligned} $$

続いて、$y$ について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} f(x, y) &= 3(x + y - 1)^2 + 18(y^2 - 4y) + 78 \\ &= 3(x + y - 1)^2 + 18(y - 2)^2 - 72 + 78 \\ &= 3(x + y - 1)^2 + 18(y - 2)^2 + 6 \end{aligned} $$

$x, y$ は実数であるから、$(x + y - 1)^2 \geqq 0$ かつ $(y - 2)^2 \geqq 0$ である。したがって、$f(x, y)$ は $x + y - 1 = 0$ かつ $y - 2 = 0$ のとき、すなわち $x = -1, y = 2$ のときに最小値 $6$ をとる。

求めるものは $|x\vec{a} + y\vec{b} + \vec{c}|$ の最小値であるため、$\sqrt{6}$ となる。

解説

(1)と(2)は、点から直線・平面に下ろした垂線の長さが最短距離になるという幾何学的事実を、ベクトルを用いて代数的に証明する問題である。証明方針としては、「差をとって $0$ 以上を示す」か、「差を自乗して等式変形する」のどちらかが定石であるが、ベクトルの成分を $(x-h)\vec{a}$ のような形に分けて展開すると、不要な交差項が直交条件により消去できるため、美しく証明できる。 (3)は(2)で証明した性質を直接利用するのが出題者の意図である。解法2で示したように2変数の二次関数として平方完成することでも解くことは可能だが、計算量がやや多くなるため、誘導の意図を汲むことが時間短縮の鍵となる。