九州大学 1981年 文系 第4問 解説

方針・初手

(1)と(2)は空間ベクトルの大きさと内積の定義に従って計算する基本的な問題である。(3)は求めるベクトルを $\vec{e} = (x, y, z)$ と成分でおき、与えられた条件から $x, y, z$ についての連立方程式を立てて解くのが定石である。未知数が3つに対して、大きさの条件と2つの内積の条件から3つの式が得られるため、値を決定できる。

解法1

(1)

ベクトルの大きさの定義より、

$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

(2)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3$$

よって、

$$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 \leqq \alpha < \pi$ であるから、

$$\alpha = \frac{\pi}{4}$$

(3)

$\vec{e} = (x, y, z)$ とおく。

$|\vec{e}| = 1$ であるから、$|\vec{e}|^2 = 1$ より、

$$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad \cdots \text{①}$$

$\vec{e}$ と $\vec{a}$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるから、

$$\vec{e} \cdot \vec{a} = |\vec{e}||\vec{a}| \cos \frac{\pi}{4} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$$

成分で計算すると $\vec{e} \cdot \vec{a} = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = x + z$ となるので、

$$x + z = 1 \quad \cdots \text{②}$$

$\vec{e}$ と $\vec{b}$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ であるから、

$$\vec{e} \cdot \vec{b} = |\vec{e}||\vec{b}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

成分で計算すると $\vec{e} \cdot \vec{b} = 2x + 2y + z$ となるので、

$$2x + 2y + z = \frac{3}{2} \quad \cdots \text{③}$$

②より、

$$z = 1 - x \quad \cdots \text{②'}$$

これを③に代入して、

$$\begin{aligned} 2x + 2y + (1 - x) &= \frac{3}{2} \\ x + 2y &= \frac{1}{2} \\ x &= \frac{1}{2} - 2y \quad \cdots \text{③'} \end{aligned}$$

③'を②'に代入して、

$$z = 1 - \left( \frac{1}{2} - 2y \right) = \frac{1}{2} + 2y \quad \cdots \text{④}$$

③'、④を①に代入して、

$$\left( \frac{1}{2} - 2y \right)^2 + y^2 + \left( \frac{1}{2} + 2y \right)^2 = 1$$

展開して整理すると、

$$\begin{aligned} \left( \frac{1}{4} - 2y + 4y^2 \right) + y^2 + \left( \frac{1}{4} + 2y + 4y^2 \right) &= 1 \\ 9y^2 + \frac{1}{2} &= 1 \\ 9y^2 &= \frac{1}{2} \\ y^2 &= \frac{1}{18} \\ y &= \pm \frac{1}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned}$$

(i) $y = \frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき

③'より、

$$x = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}$$

④より、

$$z = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}$$

(ii) $y = -\frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき

③'より、

$$x = \frac{1}{2} - 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{6} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}$$

④より、

$$z = \frac{1}{2} + 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{6} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}$$

以上より、求めるベクトル $\vec{e}$ は、

$$\vec{e} = \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} \right), \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6} \right)$$

解法2

(3)の別解を示す。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルの一つを $\vec{n}$ とする。$\vec{n} = (p, q, r)$ とおくと、$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\vec{n} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$$\begin{cases} p + r = 0 \\ 2p + 2q + r = 0 \end{cases}$$

$r = -p$ より $2p + 2q - p = 0 \iff p + 2q = 0$ である。 $p=2$ とすると $q=-1, r=-2$ となるので、$\vec{n} = (2, -1, -2)$ とする。

$\vec{e}$ を実数 $s, t, u$ を用いて $\vec{e} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{n}$ と表す。

$\vec{e} \cdot \vec{a} = 1$ より、

$$s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + u(\vec{n} \cdot \vec{a}) = 1$$

$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$, $|\vec{a}|^2 = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ であるから、

$$2s + 3t = 1 \quad \cdots \text{⑤}$$

$\vec{e} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$ より、

$$s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 + u(\vec{n} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2}$$

$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0$, $|\vec{b}|^2 = 9$ であるから、

$$3s + 9t = \frac{3}{2} \iff 2s + 6t = 1 \quad \cdots \text{⑥}$$

⑤、⑥を連立して解くと、$3t = 0$ より $t = 0$。よって $s = \frac{1}{2}$ となる。 したがって、$\vec{e} = \frac{1}{2}\vec{a} + u\vec{n}$ と表せる。

成分で表すと、

$$\vec{e} = \frac{1}{2}(1, 0, 1) + u(2, -1, -2) = \left( \frac{1}{2} + 2u, -u, \frac{1}{2} - 2u \right)$$

$|\vec{e}|^2 = 1$ であるから、

$$\left( \frac{1}{2} + 2u \right)^2 + (-u)^2 + \left( \frac{1}{2} - 2u \right)^2 = 1$$

展開して整理すると、

$$\begin{aligned} \left( \frac{1}{4} + 2u + 4u^2 \right) + u^2 + \left( \frac{1}{4} - 2u + 4u^2 \right) &= 1 \\ 9u^2 + \frac{1}{2} &= 1 \\ 9u^2 &= \frac{1}{2} \\ u^2 &= \frac{1}{18} \\ u &= \pm \frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned}$$

(i) $u = \frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき

$$\vec{e} = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} \right) = \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6} \right)$$

(ii) $u = -\frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき

$$\vec{e} = \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} \right) = \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} \right)$$

以上より、解法1と同じ結果が得られる。

解説

空間ベクトルの内積と大きさに関する標準的な問題である。(3)は成分設定による連立方程式を愚直に解く方針（解法1）が最も確実である。文字が3つあるため計算が煩雑になるように見えるが、1次式が2つあるため、1文字（この場合は $y$）のみの2次方程式に帰着させることができる。

解法2は、任意のベクトルを1次独立な3つのベクトルの1次結合で表すという考え方を用いたものである。ここでは計算を簡略化するため、$\vec{a}$, $\vec{b}$ が張る平面に垂直なベクトル $\vec{n}$ を利用し、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{n}$ を基底として $\vec{e}$ を設定した。この手法は未知数を減らし計算の見通しを良くするのに有効である。

答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 3$ (2) $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (3) $\vec{e} = \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} \right), \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6} \right)$