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九州大学 2006年文系第4問解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数は、内側の絶対値から順に外すか、あるいは基本となる関数のグラフに対して「平行移動」と「折り返し」の操作を繰り返すことで全体像を捉えることができます。

(1) は $f(x) = 0$ という方程式を解く問題です。絶対値の性質 $|X| = 0 \iff X = 0$ を用いて内側から順に絶対値を外して $x$ を求めます。

(2) は $f(x)$ の絶対値記号を外すために、$\sin x$ の値による場合分けを行います。定義域 $-\pi \leqq x \leqq \pi$ における $\sin x$ の符号と大きさに着目します。

(3) は (2) で得られた $y = f(x)$ のグラフと、直線 $y = k$ の共有点の個数を調べます。定数 $k$ の値を変化させながら、グラフの極値や端点に注意して数え上げます。

解法1

(1) $f(x) = 0$ より、

$$ \left| \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2} \right| = 0 $$

絶対値が $0$ になるのは中身が $0$ のときであるから、

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2} = 0 $$

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} $$

絶対値を外すと、

$$ \sin x - \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2} $$

よって、$\sin x = 1$ または $\sin x = 0$ を得る。 $-\pi \leqq x \leqq \pi$ の範囲でこれらを解く。

$\sin x = 1$ のとき、

$$ x = \frac{\pi}{2} $$

$\sin x = 0$ のとき、

$$ x = -\pi, 0, \pi $$

以上より、求める $x$ は、

$$ x = -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi $$

(2) 関数 $f(x)$ の絶対値記号を外すために、$x$ の範囲によって場合分けを行う。

(i) $-\pi \leqq x \leqq 0$ のときこの範囲では $\sin x \leqq 0$ であるため、$\sin x - \frac{1}{2} < 0$ となる。よって、

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = -\left( \sin x - \frac{1}{2} \right) = -\sin x + \frac{1}{2} $$

これを与式に代入すると、

$$ f(x) = \left| \left( -\sin x + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right| = |-\sin x| $$

$\sin x \leqq 0$ より $-\sin x \geqq 0$ であるから、

$$ f(x) = -\sin x $$

(ii) $0 < x \leqq \pi$ のときこの範囲では $0 < \sin x \leqq 1$ である。 $\left| \sin x - \frac{1}{2} \right|$ の絶対値を外すため、さらに場合分けを行う。

(ア) $0 < \sin x \leqq \frac{1}{2}$ すなわち $0 < x \leqq \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi$ のとき $\sin x - \frac{1}{2} \leqq 0$ であるから、

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = -\sin x + \frac{1}{2} $$

よって、

$$ f(x) = \left| \left( -\sin x + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right| = |-\sin x| = \sin x \quad (\because \sin x > 0) $$

(イ) $\frac{1}{2} < \sin x \leqq 1$ すなわち $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ のとき $\sin x - \frac{1}{2} > 0$ であるから、

$$ \left| \sin x - \frac{1}{2} \right| = \sin x - \frac{1}{2} $$

よって、

$$ f(x) = \left| \left( \sin x - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right| = |\sin x - 1| $$

$\sin x \leqq 1$ より $\sin x - 1 \leqq 0$ であるから、

$$ f(x) = -(\sin x - 1) = 1 - \sin x $$

以上 (i), (ii) より、$f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = \begin{cases} -\sin x & (-\pi \leqq x \leqq 0) \\ \sin x & \left( 0 < x \leqq \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi \right) \\ 1 - \sin x & \left( \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \right) \end{cases} $$

グラフの概形を描くにあたり、特徴的な点を挙げると以下のようになる。

$x = -\pi$ のとき $y = 0$
$x = -\frac{\pi}{2}$ のとき $y = 1$ （最大値）
$x = 0$ のとき $y = 0$ （極小値）
$x = \frac{\pi}{6}$ のとき $y = \frac{1}{2}$ （極大値）
$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = 0$ （極小値）
$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき $y = \frac{1}{2}$ （極大値）
$x = \pi$ のとき $y = 0$

これらの点を通るように、それぞれの区間における正弦曲線の弧を描く。（解答用紙には、これらの座標を明記した上でなめらかな曲線を描くこと）

(3) 方程式 $f(x) = k$ を満たす $x$ の個数は、(2) で求めた $y = f(x)$ のグラフと、直線 $y = k$ （$x$ 軸に平行な直線）との共有点の個数に等しい。

グラフの特徴点に注目して $k$ の値で場合分けをすると、以下のようになる。

$k < 0$ のとき：共有点は存在しない。
$k = 0$ のとき：$x = -\pi, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ の $4$ 点で交わる。
$0 < k < \frac{1}{2}$ のとき：$-\pi < x < 0$ の範囲で $2$ 個、$0 < x < \pi$ の範囲で $4$ 個、合計 $6$ 個の点で交わる。
$k = \frac{1}{2}$ のとき：$x = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}$ の $2$ 点で交わり、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ の $2$ 点で接する。合計 $4$ 個。
$\frac{1}{2} < k < 1$ のとき：$-\pi < x < 0$ の範囲でのみ $2$ 個の点で交わる。
$k = 1$ のとき：$x = -\frac{\pi}{2}$ の $1$ 点のみで接する。
$k > 1$ のとき：共有点は存在しない。

解説

絶対値が入れ子になった関数のグラフは、基本となるグラフ（今回は $y = \sin x$）から出発し、「$y$ 軸方向への平行移動」と「$x$ 軸より下にある部分の折り返し（絶対値をとる操作）」を繰り返すことでも概形を把握できます。

具体的には、$y = \sin x$ を下に $\frac{1}{2}$ 平行移動し、それを折り返し、さらに下に $\frac{1}{2}$ 平行移動し、最後にもう一度折り返すという手順です。この視覚的なアプローチでグラフの形をあらかじめ予想しておくと、場合分けによる式変形の計算ミスを防ぎやすくなります。