九州大学 1962年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた連立方程式の形から、共通のまとまりを作って置換することを目標とする。 第2式には $\log y$ と $\log \frac{100}{x}$ が含まれているため、対数の性質を用いて変形し、第1式に含まれる $4^x = (2^x)^2$ および $\log xy$ との関連性を見出す。 また、対数を扱う方程式であるため、あらかじめ真数条件を確認しておくことが重要である。

解法1

まず、対数の真数条件を確認する。 問題文の式に含まれる真数は $xy, y, \frac{100}{x}$ であるから、これらがすべて正である必要がある。

$$xy > 0 \quad \text{かつ} \quad y > 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{100}{x} > 0$$

これより、 $x > 0$ かつ $y > 0$ である。

次に、与えられた連立方程式を変形する。

$$\begin{cases} 4^x + (\log xy)^2 = 68 \quad \cdots \text{①} \\ 2^x + \log y = 8 + \log \frac{100}{x} \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

第2式②を変形する。 対数は常用対数（底が10）であることに注意して、右辺の対数を分解すると、

$$2^x + \log y = 8 + \log 100 - \log x$$

$$2^x + \log y = 8 + 2 - \log x$$

$$2^x + \log x + \log y = 10$$

$$2^x + \log xy = 10 \quad \cdots \text{②}^{\prime}$$

となる。 一方、第1式①は $4^x = (2^x)^2$ より、次のように書ける。

$$(2^x)^2 + (\log xy)^2 = 68 \quad \cdots \text{①}^{\prime}$$

ここで、$X = 2^x$, $Y = \log xy$ とおくと、方程式 ①$^{\prime}$, ②$^{\prime}$ は次のような $X, Y$ についての連立方程式となる。

$$\begin{cases} X^2 + Y^2 = 68 \quad \cdots \text{③} \\ X + Y = 10 \quad \cdots \text{④} \end{cases}$$

④より、$Y = 10 - X$ これを③に代入する。

$$X^2 + (10 - X)^2 = 68$$

$$X^2 + 100 - 20X + X^2 = 68$$

$$2X^2 - 20X + 32 = 0$$

両辺を2で割って整理すると、

$$X^2 - 10X + 16 = 0$$

$$(X - 2)(X - 8) = 0$$

よって、$X = 2, 8$ となる。 （ここで、$x > 0$ より $X = 2^x > 2^0 = 1$ であるから、いずれの解も条件を満たす。）

(i) $X = 2$ のとき

④より、$Y = 10 - 2 = 8$ である。 $X = 2^x = 2$ より、 $x = 1$ $Y = \log xy = 8$ において $x = 1$ を代入すると、

$$\log y = 8$$

$$y = 10^8$$

これは $x > 0, y > 0$ を満たす。

(ii) $X = 8$ のとき

④より、$Y = 10 - 8 = 2$ である。 $X = 2^x = 8$ より、 $x = 3$ $Y = \log xy = 2$ において $x = 3$ を代入すると、

$$\log 3y = 2$$

$$3y = 10^2 = 100$$

$$y = \frac{100}{3}$$

これも $x > 0, y > 0$ を満たす。

以上より、求める解は $(x, y) = (1, 10^8), \left(3, \frac{100}{3}\right)$ となる。

解説

指数関数と対数関数が混在した連立方程式の典型的な問題である。 そのままでは手が出ないため、対数の性質 $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ や $\log AB = \log A + \log B$ を用いて式をほぐし、共通のカタマリを見つけることが最大のポイントとなる。 本問では $2^x$ と $\log xy$ というまとまりが見つかれば、あとは基本的な基本対称式からなる連立方程式（和と2乗の和）を解く問題に帰着される。 対数を扱う方程式では、無縁解の混入を防ぐために、最初に真数条件（真数 $> 0$）を確認しておく手順を忘れないようにしたい。

答え

$$(x, y) = (1, 10^8), \left(3, \frac{100}{3}\right)$$