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名古屋大学 1963年文系第1問解説

方針・初手

(1) 与えられた式をそのまま計算するのではなく、分母を有理化することで $x+y$ と $x-y$, $xy$ の式に変形し、基本対称式の値を利用して計算する。

(2) 不等式の各辺に共通する形を作り出すことを考える。指数法則を用いて中央の式をまとめるか、すべての辺が正であることを利用して対数をとることで、$x$ についての一次不等式に帰着させる。

解法1

(1) 求める式を $P$ とおく。分母と分子に $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ を掛けて有理化する。

$$ P = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})} = \frac{x - 2\sqrt{xy} + y}{x - y} = \frac{(x+y) - 2\sqrt{xy}}{x - y} $$

ここで、$x+y=6, xy=4$ を代入するために、分母の $x-y$ の値を求める。

$$ (x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 6^2 - 4 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $$

条件より $x>y$ であるから、$x-y > 0$ となり、

$$ x-y = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$

これを $P$ の式に代入する。

$$ P = \frac{6 - 2\sqrt{4}}{2\sqrt{5}} = \frac{6 - 4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$

(2) 与えられた不等式は以下の通り。

$$ a \leqq a^x b^{1-x} \leqq b $$

$a, b$ は正の定数であるから、$a>0$ より各辺を $a$ で割ることができる。

$$ 1 \leqq a^{x-1} b^{1-x} \leqq \frac{b}{a} $$

中央の式に指数法則を適用して変形する。

$$ 1 \leqq \left(\frac{b}{a}\right)^{1-x} \leqq \frac{b}{a} $$

これを底が $\frac{b}{a}$ の指数で表す。

$$ \left(\frac{b}{a}\right)^0 \leqq \left(\frac{b}{a}\right)^{1-x} \leqq \left(\frac{b}{a}\right)^1 $$

条件 $0 < a < b$ より $\frac{b}{a} > 1$ であるから、底が1より大きいため指数の大小関係はそのまま保たれる。

$$ 0 \leqq 1-x \leqq 1 $$

各辺から $1$ を引いて、

$$ -1 \leqq -x \leqq 0 $$

各辺に $-1$ を掛けて、

$$ 0 \leqq x \leqq 1 $$

解法2

(1) $x, y$ は、和が $6$、積が $4$ であるから、2次方程式 $t^2 - 6t + 4 = 0$ の2つの解である。

解の公式より、

$$ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} $$

条件 $x>y$ より、$x = 3+\sqrt{5}, y = 3-\sqrt{5}$ と定まる。

これらに平方根をとり、二重根号を外す。

$$ \sqrt{x} = \sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}} $$

$$ \sqrt{y} = \sqrt{3-\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}} $$

求める式の分母と分子はそれぞれ以下のようになる。

$$ \sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{(\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

$$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{(\sqrt{5}+1) + (\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{10} $$

したがって、求める値は、

$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$

(2) $a, b$ は正の定数より、$a^x b^{1-x}$ も常に正である。

各辺はすべて正であるから、底を自然対数 $e$ とする対数をとる。

$$ \log a \leqq \log(a^x b^{1-x}) \leqq \log b $$

中央の式を対数の性質を用いて変形する。

$$ \log a \leqq x \log a + (1-x) \log b \leqq \log b $$

$$ \log a \leqq x (\log a - \log b) + \log b \leqq \log b $$

各辺から $\log b$ を引く。

$$ \log a - \log b \leqq x (\log a - \log b) \leqq 0 $$

条件 $0 < a < b$ より $\log a < \log b$ であるから、$\log a - \log b < 0$ である。

したがって、各辺を負の値である $\log a - \log b$ で割ると、不等号の向きが反転する。

$$ 1 \geqq x \geqq 0 $$

すなわち、

$$ 0 \leqq x \leqq 1 $$

解説

(1) 式の値を求める問題における基本方針は「基本対称式（和と積）の形を作る」ことである。本問のように分母に無理数を含む場合は、有理化によって式を簡潔にすることで、直接 $x, y$ の値を求めるよりも計算ミスを防ぎやすくなる。ただし、$x-y$ の値を求める際、平方根をとるため符号の判定（$x>y$ より $x-y>0$）を忘れないように注意が必要である。

(2) 文字を含む指数不等式や対数不等式では、「底が1より大きいか小さいか」「負の数で割るかどうか」によって不等号の向きが変わるかどうかの判断が最重要ポイントとなる。本問では $a < b$ という条件が与えられているため、底を $\frac{b}{a}$ とした場合 $\frac{b}{a} > 1$ となり不等号の向きは変わらない。対数をとった場合も同様に $\log a - \log b < 0$ を根拠に不等号を反転させる必要がある。