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九州大学 1963年理系第6問解説

方針・初手

(1) は絶対値の中身の正負によって場合分けを行い、関数の式を決定する。
(2) は (1) で求めたグラフを $y$ 軸周りに回転させるので、$y$ 軸に垂直な平面で切断した断面積 $\pi x^2$ を $y$ について積分する。
(3) は体積 $V$ と時間 $t$ の関係式から水面の高さ $h$ を求め、それを $t$ で微分して上昇速度を求める。

解法1

(1)

与えられた式は

$$y = (x^2 - 2) + |x^2 - 2|$$

である。絶対値記号を外すために、$x^2 - 2$ の正負で場合分けをする。

(i) $x^2 - 2 \geqq 0$ すなわち $x \leqq -\sqrt{2}$ または $\sqrt{2} \leqq x$ のとき

$|x^2 - 2| = x^2 - 2$ であるから

$$y = (x^2 - 2) + (x^2 - 2) = 2x^2 - 4$$

(ii) $x^2 - 2 < 0$ すなわち $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき

$|x^2 - 2| = -(x^2 - 2)$ であるから

$$y = (x^2 - 2) - (x^2 - 2) = 0$$

以上より、グラフは $y$ 軸対称であり、$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲では $x$ 軸上の線分となり、$x \leqq -\sqrt{2}$ および $\sqrt{2} \leqq x$ の範囲では放物線 $y = 2x^2 - 4$ の一部となる。（これらが点 $(\pm\sqrt{2}, 0)$ で滑らかに繋がる形状を描く）

(2)

(1) のグラフから、$y \geqq 0$ の範囲においてグラフは $x \leqq -\sqrt{2}$ および $\sqrt{2} \leqq x$ の部分に存在する。

$h \geqq 0$ として、$y \leqq h$ の範囲で①を $y$ 軸のまわりに回転させる。 $x \geqq \sqrt{2}$ における曲線 $y = 2x^2 - 4$ を $x^2$ について解くと

$$x^2 = \frac{y + 4}{2}$$

回転体を $y$ 軸に垂直な平面（高さ $y$）で切断した断面は、半径 $x$ の円である。したがって、求める体積 $V$ は

$$V = \pi \int_{0}^{h} x^2 \, dy = \pi \int_{0}^{h} \frac{y + 4}{2} \, dy$$

これを計算して

$$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{2}y^2 + 4y \right]_{0}^{h} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{2}h^2 + 4h \right) = \frac{\pi}{4} h(h + 8)$$

(3)

毎秒 $1 \, \text{cc}$（$= 1 \, \text{cm}^3$）の割合で水を注入するため、$t$ 秒後までに注入された水の総体積は $t \, \text{cm}^3$ である。

$t$ 秒後の水面の高さを $h \, \text{cm}$ とすると、(2) で求めた体積 $V$ が $t$ に等しいので

$$\frac{\pi}{4} h(h + 8) = t$$

これを展開して整理すると

$$\pi h^2 + 8\pi h - 4t = 0$$

水面の高さは $h \geqq 0$ であり、$t \geqq 0$ であることを考慮して、この $h$ についての二次方程式を解くと

$$h = \frac{-4\pi + \sqrt{16\pi^2 + 4\pi t}}{\pi} = -4 + 2\sqrt{4 + \frac{t}{\pi}}$$

これが $t$ 秒後の水面の高さである。

また、水面の上昇速度は $\frac{dh}{dt}$ である。 $V(h) = t$ の両辺を $t$ で微分すると、合成関数の微分法より

$$\frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = 1$$

ここで

$$\frac{dV}{dh} = \frac{d}{dh} \left\{ \frac{\pi}{4} h(h + 8) \right\} = \frac{\pi}{2}(h + 4)$$

であるから

$$\frac{\pi}{2}(h + 4) \cdot \frac{dh}{dt} = 1$$

よって

$$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\pi(h + 4)}$$

先に求めた $h = -4 + 2\sqrt{4 + \frac{t}{\pi}}$ を代入して

$$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\pi \left( -4 + 2\sqrt{4 + \frac{t}{\pi}} + 4 \right)} = \frac{2}{2\pi \sqrt{4 + \frac{t}{\pi}}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi^2 + \pi t}}$$

これが水面の上昇速度である。

解説

絶対値を含む関数のグラフは、中身の正負で場合分けを行うのが定石である。
回転体の体積を $y$ 軸周りで求める場合は、積分変数を $y$ とし、$x^2$ を $y$ の式で表して積分する。底面が円板となることに注意する。
(3) のように「体積変化」から「高さの変化率」を求める問題では、直接 $h$ を $t$ の式で表してから微分することもできるが、$V$ を $h$ の関数として $\frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{dV}{dt}$ を用いる（逆関数の微分の考え方）と計算が簡略化されることが多い。本問ではどちらでも容易に計算可能である。