九州大学 1968年 理系 第3問 解説

方針・初手

ルートの中に三角関数がある形は、半角の公式の逆や $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して完全平方式を作り、ルートを外すのが定石である。平方根を外す際に絶対値記号がつくため、積分区間における符号変化を調べて場合分けを行う。(2) では、被積分関数の周期性に着目することで計算を簡略化する。

解法1

(1)

$\sin^2\frac{t}{2} + \cos^2\frac{t}{2} = 1$ および $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$ より、根号の中身は次のように変形できる。

$$1 - \sin t = \sin^2\frac{t}{2} + \cos^2\frac{t}{2} - 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2} = \left(\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2}\right)^2$$

したがって、被積分関数は

$$\sqrt{1 - \sin t} = \sqrt{\left(\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2}\right)^2} = \left| \sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2} \right|$$

となる。ここで絶対値の中身の符号を調べる。三角関数の合成を用いると、

$$\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ より $-\frac{\pi}{4} \leqq \frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$ であるから、符号が切り替わるのは $\frac{t}{2} - \frac{\pi}{4} = 0$、すなわち $t = \frac{\pi}{2}$ のときである。これをもとに、積分区間の上限 $x$ の値で場合分けして $F(x)$ を求める。

(i) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき

この区間では $\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2} \leqq 0$ であるから、

$$F(x) = \int_0^x \left(\cos\frac{t}{2} - \sin\frac{t}{2}\right) dt$$

$$= \left[ 2\sin\frac{t}{2} + 2\cos\frac{t}{2} \right]_0^x$$

$$= 2\sin\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2} - 2$$

(ii) $\frac{\pi}{2} < x \leqq 2\pi$ のとき

積分を $0$ から $\frac{\pi}{2}$ の区間と $\frac{\pi}{2}$ から $x$ の区間に分ける。

$$F(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\frac{t}{2} - \sin\frac{t}{2}\right) dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^x \left(\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2}\right) dt$$

第1項は (i) の結果に $x = \frac{\pi}{2}$ を代入した値であり、

$$2\sin\frac{\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{4} - 2 = 2\sqrt{2} - 2$$

となる。第2項の積分を計算する。

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^x \left(\sin\frac{t}{2} - \cos\frac{t}{2}\right) dt = \left[ -2\cos\frac{t}{2} - 2\sin\frac{t}{2} \right]_{\frac{\pi}{2}}^x$$

$$= \left(-2\cos\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi}{4} - 2\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

$$= -2\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} + 2\sqrt{2}$$

したがって、$F(x)$ はこれらを足し合わせて、

$$F(x) = (2\sqrt{2} - 2) + \left(-2\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} + 2\sqrt{2}\right)$$

$$= -2\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} + 4\sqrt{2} - 2$$

(2)

被積分関数 $f(t) = \sqrt{1 - \sin t}$ の周期性に着目する。

$$f(t+2\pi) = \sqrt{1 - \sin(t+2\pi)} = \sqrt{1 - \sin t} = f(t)$$

であるから、$f(t)$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。

ここで、区間幅が $2\pi$ および $\pi$ の定積分をあらかじめ求めておく。(1) の結果を用いると、

$$\int_0^{2\pi} f(t) dt = F(2\pi) = -2\sin\pi - 2\cos\pi + 4\sqrt{2} - 2 = 2 + 4\sqrt{2} - 2 = 4\sqrt{2}$$

$$\int_0^\pi f(t) dt = F(\pi) = -2\sin\frac{\pi}{2} - 2\cos\frac{\pi}{2} + 4\sqrt{2} - 2 = -2 + 4\sqrt{2} - 2 = 4\sqrt{2} - 4$$

求める定積分を $I_n = \int_0^{n\pi} f(t) dt$ とおき、$n$ の偶奇で場合分けを行う。

(i) $n$ が偶数のとき

$n = 2k$（$k$ は自然数）とおける。周期関数の性質より、

$$I_{2k} = \int_0^{2k\pi} f(t) dt = k \int_0^{2\pi} f(t) dt = k \cdot 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}k$$

$k = \frac{n}{2}$ を代入して、

$$I_n = 4\sqrt{2} \cdot \frac{n}{2} = 2\sqrt{2}n$$

(ii) $n$ が奇数のとき

$n = 2k-1$（$k$ は自然数）とおける。積分区間を分割して計算する。

$$I_{2k-1} = \int_0^{(2k-1)\pi} f(t) dt = \int_0^{(2k-2)\pi} f(t) dt + \int_{(2k-2)\pi}^{(2k-1)\pi} f(t) dt$$

第1項は $2(k-1)\pi$ までの積分であるから、周期性より $(k-1) \int_0^{2\pi} f(t) dt$ に等しい。第2項も周期性より $\int_0^\pi f(t) dt$ に等しい。よって、

$$I_{2k-1} = (k-1) \cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2} - 4) = 4\sqrt{2}k - 4$$

$k = \frac{n+1}{2}$ を代入して、

$$I_n = 4\sqrt{2} \cdot \frac{n+1}{2} - 4 = 2\sqrt{2}(n+1) - 4 = 2\sqrt{2}n + 2\sqrt{2} - 4$$

解説

三角関数の積分において、$\sqrt{1 \pm \sin x}$ や $\sqrt{1 \pm \cos x}$ といった形が現れた場合は、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いてルートの中身を完全平方式にするのが定石である。平方根を外す際に絶対値記号がつくため、そのまま積分計算を進めないよう注意が必要である。

(2) は、(1) で得られた不定積分（の一種）の式をそのまま用いて計算を強行することも可能だが、被積分関数が周期 $2\pi$ を持つことに気づくと、積分区間を周期ごとに分割して計算を大幅に見やすくできる。積分区間に文字が含まれる場合は、関数の周期性を確認する習慣をつけておきたい。

答え

(1) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$F(x) = 2\sin\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2} - 2$ $\frac{\pi}{2} < x \leqq 2\pi$ のとき、$F(x) = -2\sin\frac{x}{2} - 2\cos\frac{x}{2} + 4\sqrt{2} - 2$

(2) $n$ が偶数のとき、$2\sqrt{2}n$ $n$ が奇数のとき、$2\sqrt{2}n + 2\sqrt{2} - 4$