九州大学 1968年 理系 第5問 解説

注意

画像の一部が不鮮明で、問題文の条件式「$\overrightarrow{CQ} = t\overrightarrow{CD}$」および(2)の条件「$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{CD}$ の内積」の文字の読取りに不確実性があります（画像では一部が $\overrightarrow{OQ}$ に見える可能性があります）。以下は、問題の誘導や計算上の整合性から、それぞれ「$\overrightarrow{CQ}$」「$\overrightarrow{CD}$」として解釈した場合の解答解説である。

方針・初手

空間のベクトルの成分を順に計算していく。 (1) では与えられた座標から $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$ を求め、実数倍として $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{CQ}$ を成分表示する。さらに $\overrightarrow{PQ}$ は位置ベクトルの差を利用して成分で表す。 (2) は「内積が $0$」という条件から $s, t$ の連立方程式を導いて解く。

解法1

(1)

与えられた座標より、ベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$ の成分は以下のようになる。

$$\overrightarrow{AB} = (6 - 0, 7 - 9, 4 - 2) = (6, -2, 2)$$

$$\overrightarrow{CD} = (-9 - (-6), -3 - (-5), 14 - 10) = (-3, 2, 4)$$

条件 $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{AP}$ の成分は以下の通りである。

$$\overrightarrow{AP} = s(6, -2, 2) = (6s, -2s, 2s)$$

条件 $\overrightarrow{CQ} = t\overrightarrow{CD}$ より、$\overrightarrow{CQ}$ の成分は以下の通りである。

$$\overrightarrow{CQ} = t(-3, 2, 4) = (-3t, 2t, 4t)$$

次に $\overrightarrow{PQ}$ を求める。ベクトルを点 $C$ を始点として分割すると、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{CQ} - \overrightarrow{CP}$ となる。 ここで $\overrightarrow{CP}$ は $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{AP}$ を用いて次のように表せる。

$$\overrightarrow{CA} = (0 - (-6), 9 - (-5), 2 - 10) = (6, 14, -8)$$

$$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AP} = (6, 14, -8) + (6s, -2s, 2s) = (6s+6, -2s+14, 2s-8)$$

したがって、$\overrightarrow{PQ}$ の成分は以下のように計算できる。

$$\overrightarrow{PQ} = (-3t, 2t, 4t) - (6s+6, -2s+14, 2s-8) = (-6s-3t-6, 2s+2t-14, -2s+4t+8)$$

(2)

条件より、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$ かつ $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ である。 $s \neq 0$ より $\overrightarrow{AP}$ は $\overrightarrow{AB} = 2(3, -1, 1)$ に平行であるため、$\overrightarrow{PQ} \cdot (3, -1, 1) = 0$ として計算してよい。

$$3(-6s-3t-6) - 1(2s+2t-14) + 1(-2s+4t+8) = 0$$

$$-18s - 9t - 18 - 2s - 2t + 14 - 2s + 4t + 8 = 0$$

整理すると以下のようになる。

$$22s + 7t = 4 \quad \cdots ①$$

同様に、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ について、$\overrightarrow{CD} = (-3, 2, 4)$ を用いて計算する。

$$-3(-6s-3t-6) + 2(2s+2t-14) + 4(-2s+4t+8) = 0$$

$$18s + 9t + 18 + 4s + 4t - 28 - 8s + 16t + 32 = 0$$

整理すると以下のようになる。

$$14s + 29t = -22 \quad \cdots ②$$

①より $t = \frac{4 - 22s}{7}$ とし、これを②に代入する。

$$14s + 29 \left( \frac{4 - 22s}{7} \right) = -22$$

両辺を $7$ 倍して解く。

$$98s + 116 - 638s = -154$$

$$-540s = -270$$

$$s = \frac{1}{2}$$

これを $t = \frac{4 - 22s}{7}$ に代入すると $t = -1$ を得る。 これらは $s \neq 0, t \neq 0$ を満たす。

求めた $s, t$ の値を $\overrightarrow{PQ}$ の成分の式に代入する。

$$\overrightarrow{PQ} = \left( -6 \left(\frac{1}{2}\right) - 3(-1) - 6, 2 \left(\frac{1}{2}\right) + 2(-1) - 14, -2 \left(\frac{1}{2}\right) + 4(-1) + 8 \right)$$

$$\overrightarrow{PQ} = (-3 + 3 - 6, 1 - 2 - 14, -1 - 4 + 8) = (-6, -15, 3)$$

最後に、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の大きさを計算する。

$$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$$

解説

空間内の2直線の共通垂線を求める典型問題である。ねじれの位置にある2直線上の点を結ぶベクトル $\overrightarrow{PQ}$ が、両方の直線の方向ベクトルと直交する条件式（内積 $= 0$）を立てることで解くことができる。 ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ を成分で表す際、(1) で $\overrightarrow{CQ}$ が与えられている誘導に従い、基準点を原点ではなく点 $C$ に置いて $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{CQ} - \overrightarrow{CP}$ と計算するのが自然かつ見通しが良い。 内積の計算を行う際には、$\overrightarrow{AP}$ のまま計算するのではなく、それに平行で成分が簡単なベクトル $(3, -1, 1)$ を利用することで計算ミスを防ぐことができる。

答え

(1)

$\overrightarrow{AP}$：$x$ 成分 $6s$、$y$ 成分 $-2s$、$z$ 成分 $2s$ $\overrightarrow{CQ}$：$x$ 成分 $-3t$、$y$ 成分 $2t$、$z$ 成分 $4t$ $\overrightarrow{PQ}$：$x$ 成分 $-6s-3t-6$、$y$ 成分 $2s+2t-14$、$z$ 成分 $-2s+4t+8$

(2)

$s = \frac{1}{2}, \quad t = -1$ ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の大きさは $3\sqrt{30}$