トップ› 九州大学› 1970年› 理系第2問

九州大学 1970年理系第2問解説

方針・初手

与えられた条件 $np=1$ から $p = \frac{1}{n}$ と表せるので、これを極限を求める式に代入する。その後、二項係数 ${}_n \mathrm{C}_r$ を階乗を用いて展開し、極限を計算しやすいように $n$ を含む項を整理する。

特に、$n \to \infty$ の極限を考える際、自然対数の底 $e$ の定義に関する極限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$（または $\lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$）を利用する形へ式変形することがポイントとなる。

なお、極限をとる操作において、問題の文脈から $r$ は $n$ によらない非負の定数として扱う。

解法1

$np = 1$ より、$p = \frac{1}{n}$ である。

これを与式に代入し、変形していく。

$$ \lim_{n \to \infty} {}_n \mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{r!} \left(\frac{1}{n}\right)^r \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-r} $$

分子の $n(n-1) \cdots (n-r+1)$ は $n$ から始まる $r$ 個の整数の積であり、分母に $n^r$ があるため、各因子を $n$ で割るように組み合わせる。

$$ \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{r!} \cdot \frac{1}{n^r} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-r} $$

$$ = \frac{1}{r!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdots \frac{n-r+1}{n} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-r} $$

$$ = \frac{1}{r!} \cdot 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{r-1}{n}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-r} $$

ここで、$n \to \infty$ としたときの各部分の極限を考える。

$r$ は $n$ によらない定数であるから、$k = 1, 2, \dots, r-1$ に対して、

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{k}{n}\right) = 1 $$

また、指数の部分については、

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-r} = 1^{-r} = 1 $$

となる。さらに、自然対数の底 $e$ の定義より、

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left(1 + \frac{1}{-n}\right)^{-n} \right\}^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e} $$

である。

以上より、全体の極限はこれら個別の極限値の積として求まる。

$$ \lim_{n \to \infty} {}_n \mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r} = \frac{1}{r!} \cdot 1 \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdots 1}_{r-1 \text{個}} \cdot \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{r! e} $$

解説

本問は、確率・統計の分野における「ポアソン極限定理（二項分布のポアソン近似）」の導出そのものである。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、$n$ 回の試行で事象が $r$ 回起こる確率は $P(X=r) = {}_n \mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ である。ここで、平均発生回数 $\lambda = np$ を一定に保ちながら試行回数 $n$ を限りなく大きくする（$n \to \infty$, $p \to 0$）と、この確率はポアソン分布の確率 $P(X=r) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^r}{r!}$ に収束することが知られている。本問は $\lambda = 1$ の場合にあたる。

計算の要点は、二項係数 ${}_n \mathrm{C}_r$ の分子にある $r$ 個の因数を、$\left(\frac{1}{n}\right)^r$ の $n$ を用いてそれぞれ割り算し、$1 - \frac{k}{n}$ の形を作り出すことである。また、極限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$ は微積分や極限の基本として頻出であるため、すぐに引き出せるようにしておきたい。