東京工業大学 1995年 理系 第4問 解説

方針・初手

（1）、（2） ともに無作為にカードを取り出すため、すべての組み合わせに対するカードの数字の積の総和を求め、取り出し方の総数で割ることで期待値が得られる。

異なる複数の数の積の和は、多項式の展開公式や対称式の性質を利用して、累乗の和から求めるのが定石である。（2） では厳密な式を求める必要はなく、極限を計算するために $n$ の多項式としての最高次の項に着目すればよい。

解法1

(1)

$n$ 枚のカードから同時に 2 枚を取り出す方法は ${}_n\mathrm{C}_{2}$ 通りあり、これらは同様に確からしい。 取り出した 2 枚のカードに書かれた数を $X, Y$ （$X < Y$）とすると、求める期待値 $E$ は次のように表される。

$$ E = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_{2}} \sum_{1 \leqq X < Y \leqq n} XY $$

ここで、次式の展開を考える。

$$ \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{1 \leqq X < Y \leqq n} XY $$

これより、積の和は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} 2 \sum_{1 \leqq X < Y \leqq n} XY &= \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{n(n+1)}{12} \left\{ 3n(n+1) - 2(2n+1) \right\} \\ &= \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{12} \\ &= \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{12} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \sum_{1 \leqq X < Y \leqq n} XY = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24} $$

となる。${}_n\mathrm{C}_{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ であるから、期待値 $E$ は

$$ E = \frac{2}{n(n-1)} \cdot \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24} = \frac{(n+1)(3n+2)}{12} $$

(2)

$n$ 枚のカードから同時に 3 枚を取り出す方法は ${}_n\mathrm{C}_{3}$ 通りある。 取り出した 3 枚のカードに書かれた数を $X, Y, Z$ （$X < Y < Z$）とすると、期待値 $E(n)$ は次のように表される。

$$ E(n) = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_{3}} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ $$

ここで、3 変数の和の展開公式を考える。

$$ \left( \sum_{k=1}^n k \right)^3 = \sum_{k=1}^n k^3 + 3 \sum_{X \neq Y} X^2 Y + 6 \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ $$

また、次の恒等式も成り立つ。

$$ \left( \sum_{k=1}^n k \right) \left( \sum_{k=1}^n k^2 \right) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{X \neq Y} X^2 Y $$

これらから $\sum_{X \neq Y} X^2 Y$ を消去すると、次の関係式を得る。

$$ 6 \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \left( \sum_{k=1}^n k \right)^3 - 3 \left( \sum_{k=1}^n k \right) \left( \sum_{k=1}^n k^2 \right) + 2 \sum_{k=1}^n k^3 $$

両辺を $n^6$ で割ると、次のように変形できる。

$$ \frac{6}{n^6} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \left( \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \right)^3 - \frac{3}{n} \left( \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \right) \left( \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 \right) + \frac{2}{n^2} \left( \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 \right) $$

自然数の累乗の和の極限について、以下が成り立つ。

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{1}{2} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{1}{3} $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^n k^3 = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} = \frac{1}{4} $$

これらを代入して極限をとると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^6} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 0 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $$

すなわち、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^6} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \frac{1}{48} $$

一方、求める極限は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{E(n)}{n^3} &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3 \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6}} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{6}{\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)} \cdot \frac{1}{n^6} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ \\ &= \frac{6}{1 \cdot 1} \cdot \frac{1}{48} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned} $$

解法2

(2) の別解（多重和の最高次を順次評価する方法）

$XYZ$ の総和は、内側から順に和をとることで計算できる。

$$ \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \sum_{Z=3}^n Z \sum_{Y=2}^{Z-1} Y \sum_{X=1}^{Y-1} X $$

一番内側の和は、

$$ \sum_{X=1}^{Y-1} X = \frac{1}{2}Y(Y-1) = \frac{1}{2}Y^2 - \frac{1}{2}Y $$

である。次に、$Y$ についての和をとり、多項式としての最高次の項に着目する。

$$ \begin{aligned} \sum_{Y=2}^{Z-1} Y \left( \frac{1}{2}Y^2 - \frac{1}{2}Y \right) &= \frac{1}{2} \sum_{Y=1}^{Z-1} (Y^3 - Y^2) \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{4}Z^2(Z-1)^2 - \frac{1}{6}Z(Z-1)(2Z-1) \right\} \end{aligned} $$

この結果は $Z$ についての 4 次式であり、最高次の項は $\frac{1}{8}Z^4$ である。したがって、$Z$ より次数の低い項を $O(Z^3)$ と表すと、

$$ \sum_{Y=2}^{Z-1} Y \sum_{X=1}^{Y-1} X = \frac{1}{8}Z^4 + O(Z^3) $$

となる。最後に $Z$ についての和をとる。

$$ \begin{aligned} \sum_{Z=3}^n Z \left( \frac{1}{8}Z^4 + O(Z^3) \right) &= \frac{1}{8} \sum_{Z=1}^n Z^5 + O(n^5) \\ &= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{6} n^6 + O(n^5) \\ &= \frac{1}{48}n^6 + O(n^5) \end{aligned} $$

これより、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^6} \sum_{1 \leqq X < Y < Z \leqq n} XYZ = \frac{1}{48} $$

がわかる。${}_n\mathrm{C}_{3} = \frac{1}{6}n^3 + O(n^2)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{E(n)}{n^3} &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{\frac{1}{48}n^6 + O(n^5)}{\frac{1}{6}n^3 + O(n^2)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{48} + O\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{6} + O\left(\frac{1}{n}\right)} \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned} $$

解説

• 異なる数の積の総和は、$(X_1 + \dots + X_n)^k$ の展開公式やニュートンの恒等式などを利用して求めるのが典型的な手法である。
• （2） のように極限のみが問われている場合、すべての項を正確に計算する必要はない。多項式の最高次の項にのみ着目して $n^k$ で割った極限を考えることで、計算量を大幅に減らすことができる。
• 多重和をそのまま計算して区分求積法（多重積分）と結びつける見方も背景にある。解法2の計算過程は $\iiint_{0 \le x \le y \le z \le 1} xyz \,dx\,dy\,dz = \frac{1}{48}$ を求める操作と本質的に同じである。

答え

(1)

$$ E = \frac{(n+1)(3n+2)}{12} $$

(2)

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{E(n)}{n^3} = \frac{1}{8} $$