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九州大学 1977年理系第2問解説

方針・初手

与えられたベクトルの大きさと内積の条件を数式に翻訳する。 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$ が単位ベクトルであることからその大きさが $1$ であること、および $\overrightarrow{OC}$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ であることから内積の定義式を用いて立式する。得られた条件式から基本対称式 $p+q$, $pq$ の値を求める。(2) では $(p, q)$ と $(r, s)$ の対称性に着目し、二次方程式の解と係数の関係を利用して内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を計算する。

解法1

(1)

$\overrightarrow{OA}$ は単位ベクトルであるから、$|\overrightarrow{OA}| = 1$ より、

$$p^2 + q^2 = 1$$

また、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OC} = (1, 1, 1)$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるから、内積について以下が成り立つ。

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos \frac{\pi}{4}$$

成分で計算すると、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = p \cdot 1 + q \cdot 1 + 0 \cdot 1 = p + q$ であり、$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ であるから、

$$p + q = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

次に、$pq$ の値を求める。$(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$ であるから、

$$\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2 = (p^2 + q^2) + 2pq$$

$p^2 + q^2 = 1$ を代入して、

$$\frac{3}{2} = 1 + 2pq$$

$$2pq = \frac{1}{2}$$

$$pq = \frac{1}{4}$$

(2)

$\overrightarrow{OB}$ についても、$\overrightarrow{OA}$ と同様に単位ベクトルであり、$\overrightarrow{OC}$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるという全く同じ条件を満たす。したがって、(1) と同様にして以下の関係式が得られる。

$$r + s = \frac{\sqrt{6}}{2}, \quad rs = \frac{1}{4}$$

これは、$p, q$ および $r, s$ の組が、どちらも $t$ の二次方程式 $t^2 - (和)t + (積) = 0$、すなわち

$$t^2 - \frac{\sqrt{6}}{2}t + \frac{1}{4} = 0$$

の2解であることを示している。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = \left( -\frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0$ であるため、異なる2つの実数解をもつ。これを $\alpha, \beta$ とおく。

条件より $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は異なるベクトルであるから、$(p, q) \neq (r, s)$ である。よって、$(p, q)$ と $(r, s)$ の組合せは、$(\alpha, \beta)$ と $(\beta, \alpha)$ のいずれか一方ずつとなる。

したがって、内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ は次のように計算できる。

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = pr + qs + 0 \cdot 0 = \alpha\beta + \beta\alpha = 2\alpha\beta$$

ここで、$\alpha\beta$ は二次方程式の解の積であるから、$\alpha\beta = \frac{1}{4}$ である。よって、

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

一方で、内積の定義より、

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos \theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \cos \theta$$

これらを比較して、

$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$

条件 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、

$$\theta = \frac{\pi}{3}$$

解説

ベクトルの大きさ、および内積の定義式を用いて基本対称式の値を求める典型的な問題である。 (2) において、$(p, q)$ と $(r, s)$ が同じ関係式を満たすことに着目し、解と係数の関係を利用して内積 $pr+qs$ を求める発想が重要である。実際に二次方程式を解いて $t = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$ を求め、これらを代入して計算することも可能だが、対称性を利用する方が記述が簡潔になり計算ミスを防ぎやすい。