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九州大学 1978年理系第2問解説

方針・初手

直円すいの高さを変数として設定し、底面の半径（またはその2乗）を高さの式で表すことで、直円すいの体積を1変数の関数として立式する。その後、微分法を用いて関数の増減を調べ、体積の最大値を求める。

解法1

直円すいの高さを $h$ とする。球に内接する直円すいを考えるため、高さのとりうる値の範囲は $0 < h < 2$ である。

球の中心を $\text{O}$、直円すいの頂点を $\text{A}$、底面の円の中心を $\text{H}$、底面の円周上の点を $\text{P}$ とする。球の半径が $1$ であるから、$\text{OA} = 1$、$\text{OP} = 1$ である。直円すいの底面の半径を $r$ とすると、$r = \text{HP}$ である。

球の中心 $\text{O}$ から底面までの距離 $\text{OH}$ は、高さ $h$ と球の半径 $1$ を用いて $\text{OH} = |h - 1|$ と表せる。直角三角形 $\text{OPH}$ において、三平方の定理より

$$\text{HP}^2 + \text{OH}^2 = \text{OP}^2$$

すなわち、

$$r^2 + (h - 1)^2 = 1^2$$

これを $r^2$ について解くと、

$$r^2 = 1 - (h^2 - 2h + 1) = 2h - h^2$$

となる（$0 < h < 2$ より $r^2 > 0$ である）。直円すいの体積を $V$ とすると、

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2h - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2h^2 - h^3)$$

関数 $f(h) = 2h^2 - h^3$ ($0 < h < 2$) の増減を調べる。

$$f'(h) = 4h - 3h^2 = -3h \left( h - \frac{4}{3} \right)$$

$0 < h < 2$ の範囲において $f'(h) = 0$ となるのは $h = \frac{4}{3}$ のときである。 $f(h)$ の増減表は以下のようになる。

$h$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{4}{3}$	$\cdots$	$(2)$
$f'(h)$		$+$	$0$	$-$
$f(h)$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(0)$

増減表より、$h = \frac{4}{3}$ のとき、$f(h)$ は最大値をとる。このとき、最大となる体積 $V$ は

$$V = \frac{\pi}{3} f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{\pi}{3} \left\{ 2\left(\frac{4}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right)^3 \right\} = \frac{\pi}{3} \left( 2 \cdot \frac{16}{9} - \frac{64}{27} \right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{96 - 64}{27} = \frac{32}{81}\pi$$

したがって、体積が最大となるものの高さは $\frac{4}{3}$、体積は $\frac{32}{81}\pi$ である。

解法2

直円すいが内接する半径 $1$ の球面を、座標空間において原点 $\text{O}$ を中心とする球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ とする。直円すいの頂点 $\text{A}$ を $(0, 0, 1)$ にとる。直円すいの底面は、$z$ 軸に垂直な平面 $z = t$ で球面を切断した切り口の円であると設定できる。直円すいができる条件から、$-1 < t < 1$ である。

このとき、直円すいの高さ $h$ は

$$h = 1 - t$$

となる。また、底面の半径 $r$ は、平面 $z = t$ と球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ の交線の円の半径であるから、

$$r^2 = 1 - t^2$$

である。直円すいの体積を $V$ とすると、

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{3} (1 - t^2)(1 - t) = \frac{\pi}{3} (t^3 - t^2 - t + 1)$$

となる。関数 $g(t) = t^3 - t^2 - t + 1$ ($-1 < t < 1$) の増減を調べる。

$$g'(t) = 3t^2 - 2t - 1 = (3t + 1)(t - 1)$$

$-1 < t < 1$ の範囲において $g'(t) = 0$ となるのは $t = -\frac{1}{3}$ のときである。増減表は以下のようになる。

$t$	$(-1)$	$\cdots$	$-\frac{1}{3}$	$\cdots$	$(1)$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(0)$

増減表より、$t = -\frac{1}{3}$ のとき $V$ は最大となる。このときの高さ $h$ は

$$h = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$$

最大となる体積 $V$ は

$$V = \frac{\pi}{3} g\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{3} \left( -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{-1 - 3 + 9 + 27}{27} = \frac{32}{81}\pi$$

したがって、体積が最大となるものの高さは $\frac{4}{3}$、体積は $\frac{32}{81}\pi$ である。