トップ› 東京工業大学› 1983年› 理系第3問

東京工業大学 1983年理系第3問解説

方針・初手

与えられた漸化式 $\vec{u_n} = \vec{u_{n-1}} + \frac{1}{2}A(\vec{u_{n-1}} - \vec{u_{n-2}})$ は、移項すると $\vec{u_n} - \vec{u_{n-1}} = \frac{1}{2}A(\vec{u_{n-1}} - \vec{u_{n-2}})$ と変形できる。これは階差ベクトル $\vec{v_n} = \vec{u_{n+1}} - \vec{u_n}$ が等比数列の規則を持つことを意味する。階差ベクトルの一般項を求め、その和から $\vec{u_n}$ を計算する。計算においては、行列のまま等比数列の和の公式に類似した式を用いる方針（解法1）と、回転行列を複素数平面上の点の回転に対応させて計算する方針（解法2）が考えられる。

解法1

階差ベクトルを $\vec{v_n} = \vec{u_{n+1}} - \vec{u_n}$ $(n \ge 1)$ と定める。漸化式より、$\vec{v_{n-1}} = \frac{1}{2}A \vec{v_{n-2}}$ $(n \ge 3)$ となるので、添字をずらして

$$ \vec{v_n} = \frac{1}{2}A \vec{v_{n-1}} \quad (n \ge 2) $$

が成り立つ。これより、

$$ \vec{v_n} = \left(\frac{1}{2}A\right)^{n-1} \vec{v_1} $$

となる。ここで、$\vec{v_1} = \vec{u_2} - \vec{u_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。 $A$ は原点中心の $\frac{2\pi}{3}$ の回転を表す行列であるから、

$$ A^{n-1} = \begin{pmatrix} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} & -\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \\ \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} & \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \end{pmatrix} $$

である。よって、

$$ \vec{v_n} = \frac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} & -\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \\ \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} & \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \\ \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \end{pmatrix} $$

となる。

(1)

$n \ge 2$ のとき、

$$ \vec{u_n} = \vec{u_1} + \sum_{k=1}^{n-1} \vec{v_k} = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{2}A\right)^{k-1} \vec{v_1} $$

ここで、単位行列を $E$ とすると、等比数列の和と同様に $(E - \frac{1}{2}A) \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{2}A\right)^{k-1} = E - \left(\frac{1}{2}A\right)^{n-1}$ が成り立つ。

$$ E - \frac{1}{2}A = \begin{pmatrix} 1 - \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} & \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \\ -\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} & 1 - \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{5}{4} \end{pmatrix} $$

この行列の行列式は $\left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{25}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{4} \neq 0$ となるため、逆行列が存在する。

$$ \left( E - \frac{1}{2}A \right)^{-1} = \frac{4}{7} \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{5}{4} \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} $$

よって、

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{2}A\right)^{k-1} = \left( E - \frac{1}{2}A \right)^{-1} \left( E - \left(\frac{1}{2}A\right)^{n-1} \right) $$

となるので、$\vec{v_1}$ を掛けて

$$ \vec{u_n} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} \left( E - \left(\frac{1}{2}A\right)^{n-1} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2^{n-1}} \begin{pmatrix} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \\ \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \end{pmatrix} \right\} $$

$$ = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - \frac{1}{2^{n-1}}\cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \\ -\frac{1}{2^{n-1}}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \end{pmatrix} $$

各成分を計算すると、

$$ x_n = \frac{1}{7} \left\{ 5 \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}}\cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \left( -\frac{1}{2^{n-1}}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) \right\} $$

$$ y_n = \frac{1}{7} \left\{ \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}}\cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) + 5 \left( -\frac{1}{2^{n-1}}\sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) \right\} $$

整理して、

$$ x_n = \frac{5}{7} - \frac{5}{7 \cdot 2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{7 \cdot 2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} $$

$$ y_n = \frac{\sqrt{3}}{7} - \frac{\sqrt{3}}{7 \cdot 2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} - \frac{5}{7 \cdot 2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} $$

これらは $n=1$ のとき $x_1 = 0$, $y_1 = 0$ となり、$n=1$ でも成り立つ。

(2)

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{2^{n-1}} \to 0$ であり、$\cos\frac{2(n-1)\pi}{3}$ と $\sin\frac{2(n-1)\pi}{3}$ はともに $-1$ 以上 $1$ 以下の有界な値をとるため、ハサミウチの原理よりこれらを含む項の極限はすべて $0$ となる。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{5}{7} $$

$$ \lim_{n \to \infty} y_n = \frac{\sqrt{3}}{7} $$

解法2

ベクトル $\vec{u_n} = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ を複素数平面上の点 $z_n = x_n + i y_n$ と対応させて考える。行列 $A$ による変換は、原点を中心とする $\frac{2\pi}{3}$ の回転であるから、複素数 $\alpha = \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛ける操作に対応する。漸化式は複素数を用いて次のように表される。

$$ z_n - z_{n-1} = \frac{\alpha}{2} (z_{n-1} - z_{n-2}) \quad (n \ge 3) $$

数列 $\{ z_{n+1} - z_n \}$ は、初項 $z_2 - z_1 = 1 - 0 = 1$、公比 $\frac{\alpha}{2}$ の等比数列である。よって、

$$ z_{n+1} - z_n = 1 \cdot \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{n-1} \quad (n \ge 1) $$

$n \ge 2$ のとき、

$$ z_n = z_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (z_{k+1} - z_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{k-1} $$

これは初項 $1$、公比 $\frac{\alpha}{2}$、項数 $n-1$ の等比数列の和である。$\frac{\alpha}{2} \neq 1$ より、

$$ z_n = \frac{1 - \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{n-1}}{1 - \frac{\alpha}{2}} $$

ここで、分母は

$$ 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5}{4} - i \frac{\sqrt{3}}{4} $$

その逆数は、

$$ \frac{1}{1 - \frac{\alpha}{2}} = \frac{4}{5 - i\sqrt{3}} = \frac{4(5 + i\sqrt{3})}{(5 - i\sqrt{3})(5 + i\sqrt{3})} = \frac{4(5 + i\sqrt{3})}{25 + 3} = \frac{5 + i\sqrt{3}}{7} $$

また、分子の項についてド・モアブルの定理より

$$ \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}} \left(\cos\frac{2(n-1)\pi}{3} + i \sin\frac{2(n-1)\pi}{3}\right) $$

これらを代入して $z_n$ の実部と虚部を分ける。

$$ z_n = \frac{5 + i\sqrt{3}}{7} \left\{ 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} - i \frac{1}{2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \right\} $$

展開して整理すると、実部 $x_n$ は

$$ x_n = \frac{5}{7} \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) - \frac{\sqrt{3}}{7} \left( - \frac{1}{2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) $$

$$ = \frac{5}{7} - \frac{5}{7 \cdot 2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{7 \cdot 2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} $$

虚部 $y_n$ は

$$ y_n = \frac{\sqrt{3}}{7} \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) + \frac{5}{7} \left( - \frac{1}{2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} \right) $$

$$ = \frac{\sqrt{3}}{7} - \frac{\sqrt{3}}{7 \cdot 2^{n-1}} \cos\frac{2(n-1)\pi}{3} - \frac{5}{7 \cdot 2^{n-1}} \sin\frac{2(n-1)\pi}{3} $$

($n=1$ でも成立する。) (2)の極限の計算は解法1と同様である。

解説

隣接3項間の漸化式において、直ちに階差数列の等比数列に帰着できる形となっている。ベクトルや行列を用いた漸化式でも、実数列の漸化式と全く同じように等比数列の和の公式の類似を用いることができる（解法1）。ただし行列の割り算は存在しないため、逆行列の存在確認を明記する必要がある。また、行列 $A$ が回転行列であることに着目し、複素数平面での議論に持ち込む（解法2）ことで、行列計算の煩雑さを避けてより簡潔に処理することが可能である。