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東京工業大学 2004年理系第4問解説

方針・初手

(1) 求める立体は、2つの球の共通部分である。両方の球の中心が $x$ 軸上にあるため、この立体は $x$ 軸を中心とする回転体となる。$x$ 軸に垂直な平面で切断し、その断面の円の面積を積分することで体積を求める。断面の境界がどちらの球の表面になるか、$x$ の値によって場合分けして立式する。

(2) (1) で求めた $V(r)$ を $r$ で微分し、増減表を作成して最大値を求める。無理関数の微分が含まれるため、因数分解や有理化の工夫を用いて導関数の符号を正確に判定する。

解法1

(1) 空間における2つの球の方程式は、それぞれ以下の不等式で表される。

$$ x^2 + y^2 + z^2 \le r^2 \quad \cdots ① $$

$$ (x-1)^2 + y^2 + z^2 \le 1 - r^2 \quad \cdots ② $$

これら2つの球の共通部分を $x$ 軸に垂直な平面で切断する。その断面は、以下の2つの不等式を同時に満たす $yz$ 平面上の領域である。

$$ \begin{cases} y^2 + z^2 \le r^2 - x^2 \\ y^2 + z^2 \le 1 - r^2 - (x-1)^2 \end{cases} $$

右辺をそれぞれ $f(x) = r^2 - x^2$、$g(x) = 1 - r^2 - (x-1)^2 = -x^2 + 2x - r^2$ とおく。

両者の大小関係を調べるため、差をとる。

$$ f(x) - g(x) = r^2 - x^2 - (-x^2 + 2x - r^2) = 2(r^2 - x) $$

これより、以下のことがわかる。

$x \le r^2$ のとき、$f(x) \ge g(x)$ $x \ge r^2$ のとき、$f(x) \le g(x)$

したがって、切断面の円の面積を $S(x)$ とすると、以下のようになる。

$x \le r^2$ のとき、$S(x) = \pi g(x)$ $x \ge r^2$ のとき、$S(x) = \pi f(x)$

円が存在する条件は $S(x) \ge 0$ である。それぞれ解くと、

$g(x) \ge 0 \iff x^2 - 2x + r^2 \le 0 \iff 1 - \sqrt{1-r^2} \le x \le 1 + \sqrt{1-r^2}$

$f(x) \ge 0 \iff -r \le x \le r$

ここで、$0 < r < 1$ であるから $0 < 1-r^2 < 1$ であり、$1-r^2 < \sqrt{1-r^2}$ が成り立つ。よって、

$$ 1 - \sqrt{1-r^2} < 1 - (1-r^2) = r^2 $$

また、$0 < r < 1$ より $r^2 < r$ であるから、大小関係は以下のようになる。

$$ 1 - \sqrt{1-r^2} < r^2 < r $$

したがって、求める体積 $V(r)$ は次のように積分で表される。

$$ V(r) = \pi \int_{1-\sqrt{1-r^2}}^{r^2} g(x) dx + \pi \int_{r^2}^{r} f(x) dx $$

それぞれの定積分を計算する。第1項を $V_2$、第2項を $V_1$ とおく。

$V_2$ について、$R = \sqrt{1-r^2}$ とおくと、積分区間は $1-R \le x \le 1-R^2$ であり、被積分関数は $g(x) = R^2 - (x-1)^2$ となる。 $t = x-1$ と置換すると、$dt = dx$ であり、積分区間は $-R \le t \le -R^2$ となる。

$$ \begin{aligned} V_2 &= \pi \int_{-R}^{-R^2} (R^2 - t^2) dt \\ &= \pi \left[ R^2 t - \frac{1}{3} t^3 \right]_{-R}^{-R^2} \\ &= \pi \left\{ \left( -R^4 + \frac{1}{3} R^6 \right) - \left( -R^3 + \frac{1}{3} R^3 \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2}{3} R^3 - R^4 + \frac{1}{3} R^6 \right) \end{aligned} $$

$R = \sqrt{1-r^2}$ を代入して展開する。

$$ \begin{aligned} V_2 &= \pi \left\{ \frac{2}{3} (1-r^2)^{\frac{3}{2}} - (1-r^2)^2 + \frac{1}{3} (1-r^2)^3 \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{2}{3} (1-r^2)^{\frac{3}{2}} - (1 - 2r^2 + r^4) + \frac{1}{3} (1 - 3r^2 + 3r^4 - r^6) \right\} \\ &= \pi \left\{ \frac{2}{3} (1-r^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} + r^2 - \frac{1}{3} r^6 \right\} \end{aligned} $$

次に、$V_1$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V_1 &= \pi \int_{r^2}^{r} (r^2 - x^2) dx \\ &= \pi \left[ r^2 x - \frac{1}{3} x^3 \right]_{r^2}^{r} \\ &= \pi \left\{ \left( r^3 - \frac{1}{3} r^3 \right) - \left( r^4 - \frac{1}{3} r^6 \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2}{3} r^3 - r^4 + \frac{1}{3} r^6 \right) \end{aligned} $$

よって、$V(r) = V_1 + V_2$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} V(r) &= \pi \left( \frac{2}{3} r^3 - r^4 + \frac{1}{3} r^6 \right) + \pi \left\{ \frac{2}{3} (1-r^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} + r^2 - \frac{1}{3} r^6 \right\} \\ &= \pi \left\{ -r^4 + \frac{2}{3} r^3 + r^2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (1-r^2)^{\frac{3}{2}} \right\} \end{aligned} $$

(2) $V(r)$ を $r$ で微分する。

$$ \begin{aligned} V'(r) &= \pi \left\{ -4r^3 + 2r^2 + 2r + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (1-r^2)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2r) \right\} \\ &= \pi \left( -4r^3 + 2r^2 + 2r - 2r\sqrt{1-r^2} \right) \\ &= 2\pi r \left( -2r^2 + r + 1 - \sqrt{1-r^2} \right) \\ &= 2\pi r \left\{ (1-r)(2r+1) - \sqrt{1-r}\sqrt{1+r} \right\} \\ &= 2\pi r \sqrt{1-r} \left\{ \sqrt{1-r}(2r+1) - \sqrt{1+r} \right\} \end{aligned} $$

$V'(r)$ の符号は、中括弧内の式 $h(r) = \sqrt{1-r}(2r+1) - \sqrt{1+r}$ の符号と一致する。分子の有理化の要領で変形する。

$$ \begin{aligned} h(r) &= \frac{ (1-r)(2r+1)^2 - (1+r) }{ \sqrt{1-r}(2r+1) + \sqrt{1+r} } \\ &= \frac{ (1-r)(4r^2+4r+1) - (1+r) }{ \sqrt{1-r}(2r+1) + \sqrt{1+r} } \\ &= \frac{ -4r^3 + 3r + 1 - 1 - r }{ \sqrt{1-r}(2r+1) + \sqrt{1+r} } \\ &= \frac{ 2r(1-2r^2) }{ \sqrt{1-r}(2r+1) + \sqrt{1+r} } \end{aligned} $$

$0 < r < 1$ において分母は正であり、$2r > 0$ であるため、$h(r)$ の符号、すなわち $V'(r)$ の符号は $1-2r^2$ の符号と一致する。したがって、$V'(r) = 0$ となるのは $1-2r^2 = 0$ すなわち $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

$0 < r < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $V'(r) > 0$ $\frac{1}{\sqrt{2}} < r < 1$ のとき $V'(r) < 0$

ゆえに、$V(r)$ は $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき極大かつ最大となる。そのときの最大値は、

$$ \begin{aligned} V\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \pi \left\{ -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \left( 1-\frac{1}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \right\} \\ &= \pi \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) \\ &= \pi \left( -\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} \right) \\ &= \frac{4\sqrt{2}-5}{12}\pi \end{aligned} $$